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Trasformazione affine

La Francia e la sua immagine dopo una trasformazione affine. Le rette della griglia rimangono dritte e parallele tra loro, ma cambiano gli angoli e le lunghezze.

In geometria, si definisce trasformazione affine dello spazio euclideo qualunque composizione di una trasformazione lineare con una traslazione; in simboli, la più generale trasformazione affine può essere scritta come

dove è una trasformazione lineare e è una traslazione; esplicitamente, l'azione di è data da

,

dove è la matrice quadrata che rappresenta e il vettore che determina la traslazione.

Le trasformazioni affini sono le trasformazioni più generali che preservano i sottospazi affini. Tra queste, giocano un ruolo importante le affinità: queste sono le trasformazioni affini di uno spazio in sé stesso, che sono anche una corrispondenza biunivoca.

Esempi di affinità sono rotazioni, omotetie, traslazioni, rototraslazioni, riflessioni. Le affinità non sono necessariamente isometrie, non preservano cioè angoli e distanze, mentre mantengono sempre il parallelismo tra le rette.

DefinizioneModifica

Nello spazio euclideoModifica

Una trasformazione affine

 

fra due spazi euclidei è una trasformazione del tipo

 

dove   è una matrice  ,   è un vettore di   fissato e si fa uso del prodotto fra una matrice e un vettore.

In uno spazio vettorialeModifica

Una trasformazione affine fra due spazi vettoriali   e   più generali è la composizione di una trasformazione lineare

 

con una traslazione

 

determinata da un vettore fissato   di  .

In uno spazio affineModifica

Una trasformazione affine fra due spazi affini   e   è una funzione

 

per cui esiste una funzione lineare

 

fra i due spazi vettoriali associati a   e   tale che

 

Legami fra le definizioniModifica

Ciascuna definizione generalizza la precedente: l'ultima definizione è quindi la più generale e non dipende da un fissato riferimento affine. D'altra parte, fissati due riferimenti per gli spazi affini   e  , una trasformazione affine è comunque esprimibile come

 

come nella prima definizione.

AffinitàModifica

Una affinità è una trasformazione affine biiettiva in cui dominio e codominio coincidono.

Alcuni autori, nella definizione di trasformazione affine, richiedono che questa sia iniettiva.

EsempiModifica

Trasformazioni lineariModifica

Nella notazione

 

Il vettore   corrisponde all'immagine dell'origine

 

Una trasformazione lineare è una trasformazione affine che non sposta l'origine: in altre parole, una trasformazione affine con  .

Tra le trasformazioni lineari vi sono molte affinità, quali le rotazioni intorno all'origine e le riflessioni rispetto a sottospazi che passano per l'origine. Ad esempio, la rotazione di angolo   nel piano cartesiano è del tipo

 

TraslazioniModifica

D'altro canto, una affinità dove   è la matrice identità è una traslazione

 

Una traslazione, a differenza di una trasformazione lineare, non ha mai un punto fisso.

ComposizioniModifica

Ogni affinità è composizione di una trasformazione lineare e di una traslazione. Ne è un esempio la rototraslazione nello spazio tridimensionale, ottenuta componendo una rotazione di angolo   lungo un asse con una traslazione di passo   lungo il medesimo. Ad esempio, se l'asse è quello delle   la rototraslazione ha la forma

 

Rappresentazione matricialeModifica

Una affinità

 

è determinata da una matrice quadrata  e da un vettore  . Per utilizzare gli strumenti dell'algebra lineare è però utile rappresentare una affinità con una matrice sola: per fare questo si aggiunge un valore fittizio "1" in fondo al vettore   e si rappresenta la trasformazione nel modo seguente

 

La matrice associata all'affinità con queste notazioni è quindi

 

In questo modo, la composizione di due trasformazioni affini è rappresentata dal prodotto delle due matrici corrispondenti. La trasformazione identità è rappresentata dalla matrice identità.

Per essere invertibile, il determinante   deve essere diverso da zero. La matrice inversa, che rappresenta la trasformazione inversa, è la seguente

 

Con questa notazione, le trasformazioni affini di   risultano essere un sottogruppo del gruppo generale lineare

 

delle matrici invertibili   a coefficienti nel campo  .

ProprietàModifica

Punti fissiModifica

Una affinità è rappresentata da una matrice quadrata  . Se   non ha 1 fra i suoi autovalori, l'affinità ha sempre un punto fisso. Infatti l'equazione   può essere riscritta come:

 

Poiché 1 non è autovalore di  , il nucleo di   ha dimensione zero e quindi   è suriettiva, ovvero la matrice   è invertibile ed esiste un   che soddisfa l'equazione. Questo è dato da:

 

Le traslazioni non hanno punti fissi: infatti per queste   ha l'autovalore 1.

Punti e rette uniteModifica

Data l'affinità   si dice punto unito ogni punto   tale che   e retta unita ogni retta   tale che  .

Indipendenza affineModifica

Una affinità di uno spazio affine   manda punti affinemente indipendenti in punti affinemente indipendenti.

Se lo spazio affine ha dimensione   e

 

sono due insiemi di   punti affinemente indipendenti, esiste un'unica affinità   di   che manda i primi nei secondi, cioè tale che   per ogni  .

BibliografiaModifica

  • (EN) R. W. Sharpe, Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program, New York, Springer, 1997, ISBN 0-387-94732-9.
  • (EN) H.S.M. Coxeter, Introduction to geometry , Wiley (1961)
  • (EN) B.E. Meserve, Fundamental concepts of geometry , Addison-Wesley

Voci correlateModifica

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