Triangolo equilatero

Nella geometria euclidea, un triangolo equilatero è un triangolo avente i suoi tre lati congruenti tra loro. Si dimostra che i suoi angoli sono tutti congruenti e pari a 60° = rad[1]. Poiché è sia equilatero sia equiangolo è il poligono regolare con tre lati.

I triangoli equilateri sono particolari triangoli isosceli. Tutti i triangoli equilateri sono simili tra di loro: per caratterizzare metricamente un triangolo equilatero, ovvero per caratterizzare la classe dei triangoli equilateri nel piano ottenibili gli uni dagli altri mediante traslazioni e rotazioni, serve e basta un parametro estensivo; tipicamente si usa la lunghezza dei suoi lati.

Nei triangoli equilateri, le bisettrici, le mediane, le altezze e gli assi si sovrappongono cosicché lo stesso punto rappresenta l'ortocentro, il baricentro, l'incentro e il circocentro.

Il gruppo delle simmetrie del triangolo equilatero è costituito dall'identità, dalle rotazioni intorno al suo centro di 120° e di 240° e dalle riflessioni rispetto alle bisettrici degli angoli. Tale gruppo è isomorfo al gruppo simmetrico di 3 oggetti S3.

Indice

CostruzioneModifica

 
Costruzione del triangolo equilatero con riga e compasso

Come mostra Euclide in Elementi I, 1 (è la prima proposizione di tutta l'opera), il triangolo equilatero dato il lato AB si può costruire con riga e compasso in questo modo:

  • Si punta il compasso in A con apertura AB e si traccia una circonferenza;
  • Si punta il compasso in B con apertura BA e si traccia una circonferenza;
  • Il punto d'incontro delle circonferenze C è il terzo punto cercato;
  • Unendo A, B e C si ottiene un triangolo equilatero.

La dimostrazione è semplice: essendo, per definizione, tutti i punti della circonferenza equidistanti dal centro, il segmento AB è congruente ad AC, e AB è congruente a BC. Ma allora per la proprietà transitiva della congruenza, AB = AC = BC e il triangolo è equilatero.

FormuleModifica

Indicando con   il lato del triangolo, con   il perimetro, con   l'area, con   la base e con   l'altezza si ha:

PerimetroModifica

 
 

AreaModifica

 
 
 
Altezza
 

Applicazioni del teorema di PitagoraModifica

 
 

Circonferenza inscritta e circoscrittaModifica

Il centro geometrico del triangolo è il centro delle circonferenze inscritta e circoscritta al triangolo equilatero

Il raggio della circonferenza circoscritta è   da cui  

Il raggio della circonferenza inscritta è   da cui  

L'area, noto R, è  

NoteModifica

  1. ^ Questo avviene solo nella geometria euclidea, dove la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale all'angolo piatto. Dunque 180°÷3=60°

Voci correlateModifica

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