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Trigonometria

parte della matematica che studia i triangoli
Funzioni trigonometriche rappresentate graficamente

La trigonometria (dal greco trígonon (τρίγωνον, triangolo) e métron (μέτρον, misura): risoluzione del triangolo) è la parte della matematica che studia i triangoli a partire dai loro angoli. Il compito principale della trigonometria, così come rivela l'etimologia del nome, consiste nel calcolare le misure che caratterizzano gli elementi di un triangolo (lati, angoli, mediane, etc.) partendo da altre misure già note (almeno tre, di cui almeno una lunghezza), per mezzo di speciali funzioni.

Tale compito è indicato come risoluzione del triangolo. È anche possibile servirsi di calcoli trigonometrici nella risoluzione di problemi correlati a figure geometriche più complesse, come poligoni o figure geometriche solide, ed in molti altri rami della matematica.

Le funzioni trigonometriche (le più importanti delle quali sono il seno e il coseno), introdotte in questo ambito, vengono anche usate in maniera indipendente dalla geometria, comparendo anche in altri campi della matematica e delle sue applicazioni, ad esempio in connessione con la funzione esponenziale o con le operazioni vettoriali.

Indice

Le originiModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Storia delle funzioni trigonometriche.

Per molti secoli, la trigonometria dovette i suoi progressi quasi esclusivamente all'opera di grandi astronomi e geografi. Infatti, la fondazione di questa scienza si deve a Ipparco di Nicea e a Claudio Tolomeo, entrambi più astronomi e geografi che matematici. Contributi notevoli furono apportati a questa scienza dagli arabi, dal francese Levi ben Gershon e, successivamente, da Niccolò Copernico e Tycho Brahe, intenti a descrivere e a prevedere con sempre maggior precisione i fenomeni celesti, anche per un più esatto e comodo calcolo di longitudini e latitudini.

Funzioni trigonometricheModifica

Strumento indispensabile della trigonometria sono le funzioni trigonometriche. Sono queste funzioni che associano lunghezze ad angoli, e viceversa.

Le tabelle in questa sezione mostrano le funzioni trigonometriche insieme alle loro principali proprietà; per ulteriori caratteristiche, consultare la voce relativa alla particolare funzione.

Funzioni trigonometriche diretteModifica

Sono dette funzioni trigonometriche dirette quelle che ad un angolo, solitamente espresso in radianti, associano una lunghezza o un rapporto fra lunghezze. A causa dell'equivalenza circolare degli angoli, tutte le funzioni trigonometriche dirette sono anche funzioni periodiche con periodo   o  .

Funzioni trigonometriche dirette
Funzione Notazione Dominio Immagine Radici Periodo Funzione inversa
seno sen, sin         arcoseno
coseno cos         arcocoseno
tangente tan, tg         arcotangente
cotangente cot, cotg, ctg         arcocotangente
secante sec     nessuna   arcosecante
cosecante csc, cosec     nessuna   arcocosecante

Funzioni trigonometriche inverseModifica

Ad ogni funzione trigonometrica diretta è associata una funzione inversa. Il dominio di ciascuna funzione trigonometrica inversa corrisponde, com'è prevedibile, al codominio della rispettiva funzione diretta. Poiché le funzioni dirette sono, tuttavia, periodiche, e perciò non iniettive, per poterle invertire è necessario restringerne il dominio rendendole biiettive. La scelta della restrizione è teoricamente irrilevante e le possibilità sono infinite. La convenzione (rigida, in questo campo) vuole però che i domini vengano ristretti agli intervalli   oppure  , in cui le funzioni — e dunque anche le loro inverse — siano monotone. Anche le funzioni arcosecante ed arcocosecante vengono definite dall'inversione delle funzioni dirette ristrette ad uno di tali intervalli.

Funzioni trigonometriche inverse
Funzione Notazione Dominio Codominio Radici Andamento Funzione inversa
arcoseno arcsen, arcsin, asin,

sen−1[1]

    0   seno
arcocoseno arccos, acos,

cos−1

    1   coseno
arcotangente arctan, arctg, atan,

tan−1

    0   tangente
arcocotangente arccot, arccotg, arcctg, acot,

cot−1

        cotangente
arcosecante arcsec, asec,

sec−1

    1 crescente, con una discontinuità in   secante
arcocosecante arccsc, arccosec, acsc,

csc−1

      decrescente, con una discontinuità in   cosecante

Relazioni fondamentali della goniometriaModifica

Prima relazione fondamentaleModifica

 

Da questa si ricavano

 
 

Ricordare di valutare la posizione di   per la scelta opportuna dei segni.

Seconda relazione fondamentaleModifica

 

che vale solo per   con  .

Dalle due precedenti relazioni si ricava che

 

che vale solo per   con  .

Da questa si ricava

 

Ricordare di valutare la posizione di   per la scelta opportuna dei segni.

Terza relazione fondamentaleModifica

 

che vale solo per   con  .

Quarta relazione fondamentaleModifica

 

che vale solo per   con  .

Quinta relazione fondamentaleModifica

 

che vale solo per   con  .

Formule degli angoli associatiModifica

Nella circonferenza goniometrica chiamiamo angoli associati gli angoli  ,  ,   e  . Tali angoli hanno in valore assoluto stesso seno e stesso coseno.

Formule degli angoli associati del secondo quadranteModifica

 

 

 

Formule degli angoli associati del terzo quadranteModifica

 

 

 

Formule degli angoli associati al quarto quadranteModifica

 

 

 

Formule degli angoli oppostiModifica

 

 

 

Si dice che   è una funzione pari, mentre   e   sono dispari.

Formule degli angoli complementari (la loro somma è un angolo retto)Modifica

 

 

 

Formule degli angoli che differiscono di un angolo rettoModifica

 

 

 

Formule goniometricheModifica

In trigonometria, le formule di addizione e sottrazione permettono di trasformare le funzioni trigonometriche della somma o differenza di due angoli in un'espressione composta da funzioni trigonometriche dei due angoli.

Formule di addizioneModifica

  •  
  •  
  •  
  •  

La formula della tangente vale per   con  

La formula della cotangente vale per   con  

Formule di sottrazioneModifica

  •  
  •  
  •  
  •  

La formula della tangente vale per   con  

La formula della cotangente vale per   con  

Formule di duplicazioneModifica

  •  
  •  
  •  

L'ultima formula vale per   e   con  

Formule di linearitàModifica

  •  
  •  
  •  

L'ultima formula vale per   con  

Formule di bisezioneModifica

Attenzione: è necessario valutare in quale quadrante cade   per poter scegliere i segni opportuni delle seguenti formule

  •  
  •  
  •  

L'ultima formula vale per  .

Formule parametricheModifica

  •  
  •  
  •  

dove   con  .

Formule di prostaferesiModifica

  •  
  •  
  •  
  •  

Le formule di prostaferesi trasformano somme di funzioni goniometriche in prodotti.

Formule di Werner (inverse delle formule di prostaferesi)Modifica

  •  
  •  
  •  

Le formule di Werner trasformano prodotti di funzioni goniometriche in somme.

Formule dell'angolo aggiuntoModifica

  •  

La seguente uguaglianza è verificata sotto le seguenti condizioni

 

 
 

Fare attenzione al fatto che la tangente goniometrica è periodica di 180° e dunque bisogna valutare preventivamente la posizione di   dunque

 

Risoluzione dei triangoli rettangoliModifica

 
Convenzione per la nomenclatura degli elementi di un triangolo rettangolo

Nel gergo matematico risolvere un triangolo rettangolo significa calcolare le misure dei lati e degli angoli del triangolo. Per convenzione esiste una nomenclatura nei triangoli rettangoli che si può vedere in figura. Si ricorda che

  •   e  
  • un angolo è adiacente ad un cateto se il cateto risulta essere uno dei lati dell'angolo in questione.
  • un angolo è opposto ad un cateto se il cateto non è uno dei lati dell'angolo in questione.

Ad esempio   è opposto al cateto   e adiacente al cateto  .

Sotto queste convenzioni in un triangolo rettangolo valgono i seguenti teoremi

Teorema. In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell'ipotenusa con il seno dell'angolo opposto al cateto

Teorema. In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell'ipotenusa con il coseno dell'angolo acuto adiacente al cateto.

Teorema. In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell'altro cateto con la tangente dell'angolo opposto al cateto da calcolare.

Teorema. In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell'altro cateto con la cotangente dell'angolo acuto adiacente al cateto da calcolare.

Tali teoremi si traducono nelle seguenti formule per la risoluzione dei triangoli rettangoli

 
  
 
  
 
  
 
  

DimostrazioneModifica

Si consideri un triangolo rettangolo   con angolo retto di vertice  . Detto   l'asse  , sul vertice   si costruisce una circonferenza di raggio  . Le coordinate del punto   rappresentano il   e il  , e poiché   è acuto indicano anche rispettivamente le lunghezze dei cateti   e  .

 
Dimostrazione formule triangolo rettangolo

.

Dalla figura si può osservare che i due triangoli rettangoli   e   sono simili in quanto hanno due angoli congruenti:   in comune e gli angoli retti di vertice   e  . Quindi è possibile costruire la proporzione fra i lati omologhi dei due triangoli simili (lati opposti agli angoli congruenti):

 

Sostituendo le misure dei lati si ottiene

 

e quindi

 
 

da queste due si ricava anche

 
 

Questo ragionamento può essere chiaramente esteso anche al terzo angolo   in modo da ottenere formule analoghe

 
 
 
 

Applicazioni notevoli dei triangoli rettangoliModifica

Calcolo dell'altezza di una torreModifica

Si consideri il seguente problema: calcolare l'altezza di una torre  , potendo stare solo alla base (piano orizzontale) della stessa. Si distinguono due casi

Il piede A della torre è raggiungibileModifica

 
Calcolo altezza di una torre con piede A raggiungibile

In questo caso basta misurare il cateto   ( ), e dal punto   misurare l'angolo acuto   ( ) sotto cui si vede la sommità della torre   ( ). Applicando opportunamente le formule si ottiene

 

Il piede A della torre non è raggiungibileModifica

 
Calcolo altezza di una torre con piede A non raggiungibile

In questo caso   ( ) è incognita (in quanto il piede   non è raggiungibile). Si fa dunque una misura orizzontale   ( ) (quindi il cateto   è  ). Dal punto   si misura l'angolo acuto   ( ) e da   si misura l'angolo acuto   ( ) sotto cui si vede la sommità della torre   ( ). Applicando opportunamente le formule si ottiene

 
 

Confrontando le due altezze si ottiene una equazione nell'incognita  

 

questa equazione è facilmente risolvibile noti d,   e  

Trovato   si ha   e quindi si può calcolare

 

Calcolo dell'area di un triangolo qualsiasiModifica

 
l'altezza h può essere vista come cateto del triangolo CHA

Per calcolare l'area del triangolo  , di base  , serve l'altezza  . Nel triangolo rettangolo  , di ipotenusa  , l'altezza   può essere vista come il cateto che si oppone all'angolo  . Utilizzando in modo opportuno le formule dei triangoli rettangoli si ottiene

 

e quindi

 

Questa formula vale anche se   è ottuso.

Formule di conversione da Coordinate polari a coordinate cartesiane e viceversaModifica

 
Coordinate polari e coordinate cartesiane

Fissato su un piano un punto origine   e una semiretta  , dato un punto   del piano esso è univocamente individuato da una coppia di numeri reali   con la condizione   e  . La coppia di numeri reali rappresenta le coordinate polari di  . Geometricamente   rappresenta la distanza  , mentre   rappresenta l'angolo   misurato in senso antiorario con primo lato  .

È possibile trovare le relazioni esistenti tra le coordinate cartesiane   e le coordinate polari   del punto  . Le seguenti considerazioni fatte per un punto   sul primo quadrante valgono anche per gli altri quadranti.

Utilizzando le formule dei triangoli rettangoli si trovano le formule per la trasformazione in coordinate cartesiane

 

Elevando al quadrato e sommando si ottiene   e quindi si possono ricavare le formule per la trasformazione in coordinate polari

 
 

Fare attenzione che la tangente goniometrica non esiste per   ed è periodica di 180° e dunque bisogna valutare preventivamente la posizione di   per calcolare correttamente  

 

Teoremi trigonometriciModifica

I teoremi trigonometrici permettono la risoluzione di problemi di varia natura legata alla figura di un triangolo qualsiasi, esprimendo rapporti tra i lati e gli angoli di questo.

Teorema della cordaModifica

 
Teorema della corda in una circonferenza
 Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema della corda.

Data una circonferenza e una corda  , il rapporto tra tale corda e il seno di un qualsiasi angolo alla circonferenza che insiste su di essa è uguale al diametro della circonferenza:

 

Teorema dei seniModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema dei seni.

Considerato un triangolo qualsiasi di lati  ,   e  , il rapporto tra i lati e i seni dei rispettivi angoli opposti è costante ed è uguale al diametro della circonferenza circoscritta:

 

Teorema del coseno o di CarnotModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema del coseno.

Il teorema del coseno (chiamato anche teorema di Carnot) afferma che in un qualsiasi triangolo, il quadrato di un lato è uguale alla differenza tra la somma dei quadrati degli altri due lati e il doppio prodotto di tali lati per il coseno dell'angolo compreso tra essi.

 .

Ovvero, indicando con   la lunghezza dei lati e   gli angoli ad essi opposti, si ottiene

 
 
 

Può essere considerato una generalizzazione del Teorema di Pitagora.

Risoluzione dei triangoli qualsiasiModifica

 
Convenzione per la nomenclatura degli elementi di un triangolo

Nel gergo matematico risolvere un triangolo significa calcolare le misure dei lati e degli angoli del triangolo.

Per risolvere un triangolo qualsiasi devono essere noti tre elementi dei quali almeno uno deve essere un lato. Si possono presentare quattro casi:

  1. sono noti un lato e due angoli
  2. sono noti tre lati
  3. sono noti due lati e l'angolo compreso
  4. sono noti due lati e uno dei due angoli opposti ai lati dati

La nomenclatura dei lati e degli angoli segue la convenzione in figura.

Risolvere un triangolo noti un lato (a) e due angoli  Modifica

Il problema ha sempre una sola soluzione se sono rispettate le seguenti condizioni

 

in caso contrario il problema non ha soluzione.

La procedura per la risoluzione del triangolo è la seguenteModifica

  1. Calcolare l'angolo mancante  
  2. Calcolare il lato incognito   utilizzando il teorema dei seni:  
  3. Calcolare il lato incognito   utilizzando il teorema dei seni:  

Risolvere un triangolo noti i tre lati (a, b, c)Modifica

Il problema ha sempre una sola soluzione se sono rispettate le disuguaglianze triangolari in caso contrario il problema non ha soluzione.

La procedura per la risoluzione del triangolo è la seguenteModifica

  1. calcolare l'angolo   mediante il teorema del coseno:  
  2. calcolare l'angolo   mediante il teorema del coseno:  
  3. calcolare l'angolo mancante  

Risolvere un triangolo noti due lati (a e b) e l'angolo compreso  Modifica

Il problema ha sempre una sola soluzione

La procedura per la risoluzione del triangolo è la seguenteModifica

  1. calcolare il lato   (opposto all'angolo  ) mediante il teorema del coseno:  
  2. calcolare l'angolo   (opposto al lato a) mediante il teorema del coseno:  
  3. calcolare l'angolo mancante  

Risolvere un triangolo noti due lati (a e b) e l'angolo   opposto al lato aModifica

Il problema può avere nessuna soluzione, una soluzione o due soluzioni.

  1. Si calcola l'angolo incognito   con il teorema dei seni  
  2. Se   è ottuso si otterrà un solo angolo   acuto, altrimenti si trova anche  .
  3. Si calcola   ed eventualmente  
  4. Si calcola   e eventualmente   utilizzando il teorema dei seni  

Etimologia dei nomiModifica

Come per il resto delle lingue europee, l'italiano eredita i nomi delle funzioni trigonometriche dalle corrispondenti voci latine. Il termine seno proviene dalla traduzione latina sinus della parola araba jaib (letteralmente baia, tradotto in latino sinus a causa di una lettura equivoca: dal momento che l'arabo non scrive le vocali, la sequenza jb, che stava per jiba ricalcando una parola sanscrita, è stata interpretata erroneamente come baia, in luogo del corretto corda) usata per indicare la metà della corda; in questo senso, il seno denota la corda piegata su se stessa. La parola tangente viene da latino tangens, letteralmente «che tocca», in riferimento alle proprietà geometriche del segmento utilizzato per la definizione grafica di questa funzione. Analogamente si spiega l'etimologia della secante, in latino secans, «che taglia». Le parole coseno, cotangente e cosecante derivano dalla contrazione delle rispettive voci latine complementi sinus, complementi tangens, complementi secans, vale a dire «seno dell'angolo complementare», «tangente dell'angolo complementare», «secante dell'angolo complementare».

NoteModifica

  1. ^ Le notazioni con esponente negativo usate per le funzioni sin−1, cos−1, etc. (usate spesso nelle calcolatrici scientifiche) non fanno riferimento alle potenze, ma indicano solo il fatto che esse sono le funzioni inverse delle rispettive funzioni trigonometriche. Pertanto, a meno che non sia esplicitamente indicato, risulta:
     

Voci correlateModifica

Altri progettiModifica

Collegamenti esterniModifica

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