Tronco di cono

Truncated cone.svg

In geometria solida il tronco di cono è un cono al quale è stata tagliata la punta con un piano parallelo alla base. Qualora il piano non sia parallelo alla base, la sezione ottenuta è un'ellisse anziché un cerchio.

Tronco di cono 3D

FormuleModifica

Sia   un tronco di cono d'altezza   e le cui basi hanno raggi   e  . Il volume del tronco è pari a

 

La superficie laterale   del tronco di cono è data dalla formula

 

dove   è l'apotema, la lunghezza del lato obliquo del tronco di cono, pari a

 

La superficie totale del cono è data dalla formula:

 

oppure

 

Dimostrazione della formula del volumeModifica

È dato un tronco di cono T in cui R sia il raggio della base maggiore, r quello della minore e h l'altezza.

Si prolunghi la superficie laterale dalla parte di r fino ad ottenere il cono V1 di base in R e altezza pari a h + h2, in cui h2 è l'altezza del cono V2 con base in r. Il volume del tronco è quindi:

 

I triangoli di lati r e h2 e di lati h e R-r sono simili, poiché hanno tutti gli angoli uguali. Pertanto possiamo scrivere:

 

Per cui:  

Partendo dalla formula del volume del cono:

 

 

Sostituendo in h2:

 

 

Tornando alla formula iniziale:

 

 

 

 

 

 

Volume del tronco di cono ellitticoModifica

La formula per calcolare il volume di un tronco di cono ellittico è la seguente:

 

dove V è il volume del tronco di cono, r è il raggio, α è l'inclinazione dell'apotema del cono sezionato, a e b sono i semiassi dell'ellisse ottenuta dal sezionamento del cono e H e h sono rispettivamente l'altezza massima e minima del tronco di cono.

Comparazione con il cilindroModifica

Un cilindro può essere pensato come un tronco di cono con basi di uguali dimensioni. Partendo quindi dalla formula del volume di un tronco di cono C per il quale il raggio R risulta anche uguale a r, si ha:

 

 

 

che è la formula del volume di un cilindro.

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