Unità (matematica)

In matematica, il concetto di unità si riferisce ad oggetti diversi ed assume numerosi significati; tutti quanti possono però riferirsi a diverse proprietà del numero uno.

Un primo gruppo di significati è legato alle proprietà algebriche di 1, che è elemento neutro della moltiplicazione e uno dei due numeri interi dotato di inverso (l'altro è -1). Un secondo gruppo di significati dipende invece da alcune proprietà del numero 1, che hanno anch'esse valore unitario (ad esempio, il valore assoluto di 1 vale 1). Infine, il termine unità viene impiegato anche per indicare gli elementi generatori di determinati insiemi o strutture matematiche.

AlgebraModifica

Teoria dei gruppiModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Elemento neutro.

In un gruppo, il termine unità indica l'elemento neutro della moltiplicazione, sul modello del numero   nella moltiplicazione tra numeri interi, razionali o reali. Analogamente, viene chiamata matrice unità la matrice quadrata formata da tutti   sulla diagonale principale, e tutti   altrove; questa matrice è l'elemento neutro nel gruppo moltiplicativo delle matrici  .

Teoria degli anelliModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Anello (algebra).

Nell'anello degli interi  ,   e   sono gli unici elementi dotati di reciproco. Nella teoria degli anelli, una unità (dove va notato l'articolo indeterminativo) è un elemento dotato di inverso rispetto alla moltiplicazione. Va osservato che, poiché un anello è anche un gruppo, il termine unità può riferirsi anche all'elemento neutro della moltiplicazione (che, quando esiste, è anche unità nel senso di elemento invertibile), generando una possibile ambiguità nella nomenclatura, di solito facilmente risolvibile dal contesto, dato che quando ci si riferisce a quest'ultimo si usa l'articolo determinativo.

L'insieme delle unità di un anello   forma il gruppo moltiplicativo dell'anello, che viene scritto  . Se l'anello è unitario, il gruppo moltiplicativo è formato almeno dall'elemento neutro della moltiplicazione; se l'anello è un corpo, il suo gruppo moltiplicativo è formato da tutti gli elementi escluso lo zero.

Nella tabella sotto sono riportati i gruppi moltiplicativi di alcuni anelli.

Gruppi moltiplicativi di alcuni anelli
Anello Gruppo moltiplicativo
anello degli interi    
   
   
anello dei polinomi    
campo dei razionali    

Vettore unitarioModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Versore.

Se consideriamo   come spazio vettoriale normato ad una dimensione, gli unici elementi a possedere modulo pari a uno sono   e  . In uno spazio vettoriale normato generico, i vettori di modulo pari a 1 sono detti vettori unitari o versori. L'insieme dei vettori unitari dello spazio vettoriale di dimensione   forma la ipersfera unitaria di dimensione  .

La proprietà caratteristica dei versori li rende utili per indicare una particolare direzione e verso nello spazio; i versori più importanti sono quelli associati agli assi cartesiani, che costituiscono una base ortonormale per lo spazio in cui vivono; se vengono espresse nella base da essi stessi formata, le loro componenti sono tutte nulle, tranne quelle corrispondente alla propria direzione, che vale 1:

 

AnalisiModifica

Unità immaginariaModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Unità immaginaria.

In analisi matematica, l'unità immaginaria, indicata con   o   è il numero utilizzato come generatore dei numeri immaginari, definiti come radici quadrate dei numeri negativi. Usualmente essa viene definita come una delle soluzioni dell'equazione (priva di soluzioni nell'ambito dei numeri reali):

 .

Va osservato che, data una soluzione  , il suo opposto  , costituisce un'altra soluzione valida. La scelta di una o l'altra radice a rappresentare l'unità immaginaria è perfettamente equivalente. Definito  , è possibile ottenere la radice quadrata di qualunque numero negativo:

 .

Un numero immaginario è definito come il prodotto tra un numero reale e l'unità immaginaria; analogamente, ogni numero reale è prodotto di se stesso per l'unità reale  .

Radici dell'unitàModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Radice dell'unità.

Nel dominio dei numeri reali, l'equazione

 

possiede solamente la radice   se   è dispari, e la radici   se   è pari. Se estendiamo il dominio della variabile ai numeri complessi, la stessa equazione possiede invece   radici distinte, dette radici n-esime dell'unità. Tali radici nel piano complesso corrispondono ai vertici di un n-agono regolare, e formano un gruppo ciclico con l'operazione di moltiplicazione.

Unità di EisensteinModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Intero di Eisenstein.

Le unità di Eisenstein sono le unità dell'anello degli interi di Eisenstein, che è formato dai numeri complessi del tipo:

 ,

dove

 

è una delle radici cubiche dell'unità. Le unità di Eisenstein sono le sei radici seste dell'unità, e formano a loro volta un gruppo ciclico:

 .

AritmeticaModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Sistema di numerazione posizionale.

In aritmetica, si definisce unità la cifra più a destra utilizzata nella rappresentazione di un numero intero. Nella numerazione posizionale, ogni cifra utilizzata nella rappresentazione di un numero ha un valore diverso a seconda della posizione che occupa, ottenuto moltiplicando la cifra per un opportuno coefficiente; ad esempio il numero 5434 in base 10 va inteso come:

 .

Il valore della cifra delle unità si ottiene moltiplicando per il coefficiente 1, che lascia inalterata la cifra originaria.

Voci correlateModifica

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