In matematica l'unità immaginaria (a volte rappresentata dalla lettera greca iota ) permette di estendere il campo dei numeri reali al campo dei numeri complessi . L'unità immaginaria è caratterizzata dall'essere un numero il cui quadrato è uguale a .

In elettrotecnica, l'unità immaginaria viene sempre rappresentata dalla lettera , poiché la lettera è già utilizzata per indicare l'intensità di corrente.

La necessità di estendere il campo dei numeri reali nasce dal fatto che non è possibile calcolare la radice quadrata di un numero negativo e più in generale che non tutte le equazioni polinomiali hanno una soluzione in . In particolare l'equazione non ha soluzioni reali. Ma, se si considerano i numeri complessi, allora quella equazione, e in effetti tutte le equazioni polinomiali , dove è un polinomio a coefficienti reali o complessi, hanno almeno una soluzione: questo fatto prende il nome di teorema fondamentale dell'algebra, e dice formalmente che è la chiusura algebrica di .

Indice

DefinizioneModifica

Per definizione, l'unità immaginaria   è una soluzione dell'equazione:

 

L'anello   (che è un campo in quanto il polinomio   è irriducibile su  ) e   risultano essere isomorfi come spazi vettoriali su   attraverso l'isomorfismo   che manda   in  . In tal senso l'unità immaginaria non è altro che l'immagine di   secondo   e si ha  

Le operazioni sui numeri reali possono essere estese ai numeri complessi considerando   come una quantità incognita durante la manipolazione delle espressioni, e poi usando la definizione per sostituire   con  .

e Modifica

L'equazione   ha, in effetti, due soluzioni distinte che sono opposte. Più precisamente, una volta che è stata fissata una soluzione   dell'equazione, allora   è anch'essa una soluzione. Dato che l'equazione stessa è l'unica definizione per  , sembra che questa definizione sia ambigua (più precisamente, non sia ben definita). Però non si ha alcuna ambiguità una volta che si sceglie una soluzione e la si fissa, indicandola con   "positivo".

Questa considerazione è sottile. Una spiegazione più precisa consiste nell'affermare che, sebbene il campo complesso definito come   è unico a meno di isomorfismi, esso non è unico a meno di un unico isomorfismo. Infatti esistono esattamente due automorfismi di  , l'identità e l'automorfismo che manda   in  . Si noti che questi non sono solo gli unici automorfismi del campo  , ma sono gli unici automorfismi del campo   che fissano qualunque numero reale. Si vedano le voci complesso coniugato e gruppo di Galois.

Un problema simile si ha se i numeri complessi vengono interpretati come matrici reali  , perché entrambe le seguenti matrici

 

sono soluzioni dell'equazione  . In questo caso l'ambiguità è dovuta alla scelta che si fa riguardo a quale sia la "direzione positiva" con cui viene percorso la circonferenza unitaria. Una spiegazione più precisa è la seguente: il gruppo degli automorfismi del gruppo ortogonale speciale   ha esattamente due elementi: l'identità e l'automorfismo che scambia le rotazioni in senso orario in rotazioni in senso antiorario.

AvvertenzaModifica

Talvolta l'unità immaginaria viene scritta come  , ma bisogna fare molta attenzione quando si manipolano formule che contengono radicali. Questa notazione è riservata alla funzione radice quadrata principale, che è definita solo per numeri reali  , o alla parte principale della funzione radice quadrata complessa. L'applicazione delle proprietà delle radici quadrate principali (reali) al ramo principale delle radici quadrate complesse produce risultati scorretti:

 

Infatti la regola

 

è valida solo per valori di   e   reali e non negativi.

Per evitare di fare errori nel manipolare i numeri complessi la strategia migliore è quella di non usare mai un numero negativo sotto un segno di radice quadrata che non è preceduto da  , in modo da far intendere che vengono considerate entrambe le radici.

Potenze di Modifica

Le potenze di   si ripetono periodicamente (sono cicliche con periodo  ):

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Questa proprietà può essere espressa in forma più compatta in questo modo, dove   è un qualunque intero:

 
 
 
 

Radici dell'unità immaginariaModifica

Le due radici quadrate di   sono complesse, ricavabili dall'espressione:  . Ciò può essere verificato nel modo seguente:

   
 
 
 
 

Per   la radice quadrata sarà quella di   moltiplicata per l'unità immaginaria stessa. Quindi:

 

Come per ogni altro numero complesso, le radici  -esime dell'unità immaginaria si calcolano facilmente tramite la sua descrizione in coordinate polari. Infatti:

 

Imponendo che un generico numero complesso   sia radice  -esima di   si deve avere:

 
 

da cui:

 
 

La disposizione delle radici nel piano complesso è quella di poligoni regolari inscritti nella circonferenza complessa di raggio  : tenendo conto della non unicità della rappresentazione polare dei numeri complessi, per la radice quadrata avremo due radici distinte (ponendo ad esempio  ), per la radice cubica ne avremo tre ( ) e così via. Ritornando alla rappresentazione nel piano complesso tramite la formula di Eulero otteniamo:

 

e la formula di EuleroModifica

Prendendo la formula di Eulero  , e sostituendo   al posto di  , si ottiene

 

Se entrambi i membri dell'uguaglianza vengono elevati alla potenza  , ricordando che  , si ottiene l'identità

 

In effetti è facile trovare che   ha un infinito numero di soluzioni nella forma di

 

dove   è un qualunque intero. Dal punto di vista della teoria dei numeri,   è un numero irrazionale quadratico, come  , e applicando il teorema di Gelfond-Schneider si può concludere che tutti i valori ottenuti sopra, e in particolare  , sono trascendenti.

Sempre dalla formula di Eulero, o elevando al quadrato ambo i membri della precedente identità  , si arriva elegantemente all'identità di Eulero:

 

che mette in relazione cinque delle più significative entità matematiche, assieme al principio di uguaglianza e le operazioni di addizione, moltiplicazione e potenza, in una semplice espressione.

Notazione alternativaModifica

In ingegneria elettrica e campi ad essa relativi l'unità immaginaria è spesso indicata con   per evitare confusione con il simbolo di corrente elettrica variabile, tradizionalmente indicato con  . Anche il linguaggio di programmazione Python usa   per l'unità immaginaria.

Occorre prestare ulteriore attenzione ad alcuni libri di testo che definiscono  , particolarmente in argomenti legati alla propagazione delle onde (per esempio, un'onda piana che viaggia verso destra nella direzione delle   è indicata con  ).

Alcuni testi usano la lettera greca iota per l'unità immaginaria per evitare confusione.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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