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Traduzione: Problem of Apollonius

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Figura 1: Una soluzione (in rosa) del problema di Apollonio. I cerchi di partenza sono quelli in nero.

Figura 2: Quattro coppie complementari di soluzioni del problema; i cerchi di partenza sono quelli in nero.

In geometria piana euclidea, il problema di Apollonio consiste nella costruzione di cerchi che sono tangenti a tre dati cerchi su un piano (Figura 1). Apollonio di Perge (ca. 262 - 190 a.C.) formulò e risolse questo famoso problema nella sua opera Ἐπαφαί (Epaphái, "Tangenti"); di questa opera è sopravvissuto solo un riassunto di Pappo di Alessandria (IV sec. d.C.). Dati tre cerchi, essi hanno in generale otto diversi cerchi loro tangenti (Figura 2), e ognuno di questi racchiude o esclude i tre cerchi dati in modo diverso.

Nel XVI secolo, Adriaan van Roomen risolse il problema utilizzando intersezioni di iperboli, ma questa soluzione non fa uso di sole costruzioni con riga e compasso. François Viète trovò la soluzione sfruttando alcuni casi limite: ciascuno dei tre cerchi dati può essere ridotto a un punto o espanso fino ad avere raggio infinito (una retta). L'approccio di Viète, che fa uso di casi limite più semplici per risolvere i casi più complessi, è considerato una plausibile rievocazione del metodo di Apollonio. Il procedimento di van Roomen fu semplificato da Isaac Newton, che mostrò che il problema di Apollonio equivale a trovare una posizione a partire dalle differenze delle sue distanze da tre punti noti. Questo trova applicazioni nella navigazione e in sistemi di posizionamento come il LORAN.

In seguito i matematici introdussero metodi algebrici in grado di tradurre un problema geometrico in equazioni algebriche. Tali metodi furono semplificati ricorrendo alle simmetrie presenti nel problema di Apollonio: per esempio, i cerchi risolventi sono in genere appaiati, e una delle soluzioni include i cerchi iniziali che l'altra esclude (Figura 2). Joseph Diaz Gergonne sfruttò questa simmetria per fornire un'elegante soluzione mediante riga e compasso, mentre altri matematici usarono trasformazioni geometriche come l'inversione circolare per semplificare la configurazione dei cerchi di partenza. Tramite questi sviluppi si giunge a un'istallazione geometrica che permette l'applicazione di metodi algebrici, tramite la geometria di Lie, e alla classificazione delle soluzioni in base a trentatré configurazioni sostanzialmente diverse dei cerchi iniziali.

Il problema di Apollonio ha stimolato molte altre ricerche: sono state studiate generalizzazioni tridimensionali (costruire una sfera tangente a quattro date sfere) e a dimensione più elevata. Ha ricevuto particolare attenzione la configurazione di tre cerchi mutuamente tangenti. René Descartes fornì una formula che mette in relazione i raggi dei cerchi risolventi e i cerchi di partenza, oggi nota come teorema di Descartes. Iterando la risoluzione del problema di Apollonio in questo caso si perviene alla guarnizione apolloniana, uno dei primi frattali documentati in forma scritta, e riveste importanza in teoria dei numeri per mezzo dei cerchi di Ford e del metodo del cerchio di Hardy-Littlewood.

Enunciato del problema

L'enunciato generale del problema di Apollonio è costruire uno o più cerchi tangenti a tre dati oggetti (punti, cerchi o rette) su un piano. Questi oggetti possono essere disposti in qualunque maniera e possono incrociarsi l'un l'altro; a ogni modo, si assume di solito che essi siano distinti, cioè che non coincidano. Le soluzioni del problema di Apollonio sono talvolta chiamate cerchi di Apollonio, benché lo stesso termine sia anche adoperato per altri tipi di cerchi associati al matematico greco.

La proprietà di tangenza è così definita: innanzitutto, un punto, una retta o un cerchio sono tangenti a sé stessi; pertanto, se un dato cerchio è già tangente agli altri due oggetti, viene conteggiato tra le soluzioni del problema. Due oggetti distinti "si intersecano" se hanno un punto in comune. Per definizione, un punto è tangente a un cerchio o a una retta se le interseca, cioè se giace su di essi; due punti distinti non possono essere tangenti. Se l'angolo tra le rette o i cerchi nel punto di intersezione è nullo, si dice che sono "tangenti"; il punto di intersezione è detto "punto di tangenza" (dal [lingua latina|latino]] tangens, "che tocca"). In pratica, due cerchi distinti sono tangenti se si intersecano in un solo punto; lo stesso vale per una retta e un cerchio. Due rette distinte non possono essere tangenti nel piano, anche se due rette parallele possono essere considerate tangenti in un punto all'infinito (vedi inversione circolare e sotto).

Il cerchio risolvente può essere tangente internamente o esternamente a ciascuno dei cerchi iniziali. Un punto di tangenza "esterna" è tale che i due cerchi hanno curvatura opposta in quel punto, cioè giacciono su lati opposti della retta tangente in quel punto, e si escludono a vicenda. La distanza tra i loro cerchi è la somma dei loro raggi. Al contrario, un punto di tangenza "interna" è tale che i due cerchi presentano in esso la medesima curvatura, e giacciono sullo stesso lato della retta tangente (uno dei cerchi include l'altro). In questo caso, la distanza tra i loro cerchi corrisponde al valore assoluto della differenza dei loro raggi. Nella Figura 1, il cerchio risolvente (rosa) è internamente tangente al cerchio nero di media grandezza sulla sinistra, ed esternamente tangente al cerchio piccolo e al cerchio grande, sulla sinistra.

Il problema di Apollonio può anche essere formulato come il problema di trovare uno o più punti tali che le differenze delle loro distanze da tre dati punti siano uguali a tre valori dati. Si consideri un cerchio risolvente di raggio $r_{s}$ e tre cerchi iniziali di raggio $r_{1}$, $r_{2}$ e $r_{3}$. Se il cerchio risolvente è tangente esternamente ai tre cerchi dati, le distanze tra il centro del cerchio risolvente e i centri dei cerchi dati sono rispettivamente $d_{1}=r_{1}+r_{s}$, $d_{2}=r_{2}+r_{s}$ e $d_{3}=r_{3}+r_{s}$; pertanto, le differenze tra queste distante sono costanti, ad esempio $d_{1}-d_{2}=r_{1}-r_{2}$; esse dipendono solo dai raggi noti dei cerchi iniziali, e non dal raggio $r_{s}$ del cerchio risolvente, che si semplifica. Questa seconda formulazione del problema di Apollonio può essere generalizzato a cerchi risolventi tangenti internamente (per i quali la distanza da centro a centro equivale alla differenza dei raggi), scambiando le corrispettive differenze di distanze con somme di distanze, cosicché il raggio del cerchio risolvente $r_{s}$ si semplifichi anche in questo caso. La riformulazione in termini di distanza da centro a centro è utile nelle seguenti soluzioni di van Roomen e Newton, e anche nel posizionamento iperbolico o triangolazione, che è il compito di localizzare una posizione a partire dalle distanze da tre punti noti. Per esempio, i sistemi di navigazione come LORAN identificano la posizione di un ricevitore a partire dalle differenze nel tempo di arrivo dei segnali da tre date posizioni, che corrispondono alle differenze delle distanze da quei trasmettitori.

Storia

Un ricco repertorio di metodi geometrici e algebrici è stato sviluppato per risolvere il problema di Apollonio, che è stato definito «il più famoso di tutti» i problemi di geometria. L'approccio originale di Apollonio di Perge è andato perduto, ma sono state suggerite alcune ricostruzioni dello stesso da parte di François Viète e altri, basate sugli indizi contenuti nella descrizione di Pappo. Il primo nuovo metodo di risoluzione fu pubblicato nel 1596 da Adriaan van Roomen, che identificò i centri dei cerchi risolventi con i punti di intersezione di due iperboli. Il metodo di van Roomen fu perfezionato nel 1687 da Isaac Newton nei suoi Principia, e da John Casey nel 1881.

Il metodo di van Roomen, anche se in grado di risolvere il problema, ha un inconveniente. Una proprietà apprezzata nella geometria euclidea classica è la possibilità di risolvere problemi usando solo riga e compasso. Molte costruzioni, come la trisezione dell'angolo, sono impossibili con questi soli strumenti. Comunque, molti di questi problemi "impossibili" possono essere risolti mediante l'intersezione di curve come iperboli, ellissi e parabole (sezioni coniche). Ad esempio, la duplicazione del cubo (il problema di costruire un cubo di volume doppio di un dato cubo) è irresolubile usando solo riga e compasso, ma Menecmo dimostrò che il problema può essere risolto intersecando due parabole. Pertanto, la soluzione di van Roomen, che utilizza l'intersezione di due iperboli, non determinò se il problema fosse risolubile con riga e compasso.

L'amico di van Roomen François Viète, che aveva inizialmente spinto van Roomen a lavorare sul problema di Apollonio, trovò un metodo che usava solo costruzione con riga e compasso. Prima della soluzione di Viète, Regiomontano aveva messo in dubbio la risolubilità del problema di Apollonio mediante riga e compasso. Viète risolse dapprima semplici casi particolari del problema, come trovare un cerchio che passa per tre dati punti (e la soluzione è unica se i punti sono distinti); in seguito si dispose a risolvere casi particolare più complicati, in alcuni casi rimpicciolendo o ingrandendo i cerchi di partenza. Stando al sunto del quarto secolo di Pappo di Alessandria, il libro di Apollonio, intitolato Ἐπαφαί (Epaphái, "Tangenti"; in latino De tactionibus ovvero De contactibus), seguiva un approccio graduale del genere. Per questo motivo, la soluzione di Viète è considerata una plausibile ricostruzione di quella di Apollonio, malgrado siano state pubblicate altre ricostruzioni da tre altri autori indipendentemente.

Nel XIX secolo furono sviluppate molte altre soluzioni geometriche del problema di Apollonio. Le soluzioni più notevoli sono quelle di Jean-Victor Poncelet (1811) e di Joseph Diaz Gergonne (1814). Mentre la dimostrazione di Poncelet si basa sui centri omotetici dei cerchi e sul teorema della potenza di un punto, il metodo di Gergonne sfrutta la relazione coniugata tra le rette e i loro poli in un cerchio. Julius Petersen fu il primo a studiare, nel 1879, metodi che usavano l'inversione circolare; un esempio è il metodo di soluzione anulare di Harold Coxeter. Un altro approccio adopera la geometria sferica di Lie, sviluppata da Sophus Lie.

Soluzioni algebriche del problema di Apollonio furono studiate per la prima volta nel XVII secolo da René Descartes e dalla principessa Elisabetta di Boemia, anche se le soluzioni da loro trovate erano piuttosto complesse. Metodi algebrici pratici furono sviluppati nel tardo XVIII e XIX secolo da parte di diversi matematici, tra cui Eulero, Nicolas Fuss, Carl Friedrich Gauss, Lazare Carnot, e Augustin Louis Cauchy.

Metodi di soluzione

Intersezioni di iperboli

Figura 3: Due dati cerchi (in nero) e un cerchio tangente a entrambi (in rosa). Le distanze tra i centri $d_{1}$ e $d_{2}$ equivalgono, rispettivamente, a $r_{1}+r_{s}$ e $r_{2}+r_{s}$, perciò la loro differenza non dipende da $r_{s}$.

La soluzione di Adriaan van Roomen (1596) si basa sull'intersezione di due iperboli. Siano $C_{1}$, $C_{2}$ e $C_{3}$ i cerchi di partenza. Van Roomen risolse il caso generale del problema tramite la risoluzione di un problema più semplice: trovare i cerchi tangenti a due dei cerchi iniziali, ad esempio $C_{1}$ e $C_{2}$. Egli notò che il centro di un cerchio tangente a entrambi questi cerchi deve giacere sull'iperbole i cui fuochi sono i centri di tali cerchi: siano infatti $r_{1}$ e $r_{2}$ i loro raggi, e $r_{s}$ il raggio del cerchio risolvente (Figura 3). La distanza $d_{1}$ tra i centri del cerchio risolvente e di $C_{1}$ può essere $r_{s}+r_{1}$ o $r_{s}-r_{1}$ (a seconda che i cerchi siano esternamente o internamente tangenti). Allo stesso modo, la distanza tra i centri del cerchio risolvente e di $C_{2}$ può essere $r_{s}+r_{2}$ o $r_{s}-r_{2}$. Pertanto, la differenza $d_{1}-d_{2}$ tra queste distanze non dipende da $r_{s}$; punti caratterizzati da questa proprietà, cioè che sia costante la differenza tra le distanze di tali punti da due dati punti, giacciono su un'iperbole (di cui i due dati punti sono i fuochi), il che spiega perché il centro del cerchio risolvente debba giacere su una data iperbole. Possiamo tracciare una seconda iperbole relativa ai cerchi $C_{2}$ e $C_{3}$, assicurandosi di scegliere lo stesso tipo di tangenza per il cerchio risolvente e $C_{2}$ rispetto alla prima iperbole. Se esiste un punto di intersezione tra queste due iperboli, esso rappresenta il centro di un cerchio risolvente tangente (in modo appropriato) ai tre cerchi iniziali. L'intero insieme di soluzioni al problema di Apollonio può essere determinato considerando tutte le possibili combinazioni di tangenze interne ed esterne ai tre cerchi iniziali.

Isaac Newton (1687) apportò migliorie alla soluzione di van Roomen, cosicché i centri dei cerchi risolventi fossero collocati sulle intersezioni di una retta con un cerchio. Egli formulò il problema di Apollonio come problema di triangolazione, ossia localizzare un punto $Z$ conoscendo la sua distanza da tre punti $A$, $B$ e $C$ fissati. Questi quattro punti corrispondono, rispettivamente, ai centri del cerchio risolvente, di $C_{1}$, di $C_{2}$ e di $C_{3}$.

Il luogo dei punti con un rapporto costante di distanze $d_{1}/d_{2}$ da due punti fissati è un cerchio.

Anziché risolvere il problema con le iperboli, Newton costruì le loro direttrici: per ciascuna iperbole, il rapporto delle distanze tra un punto $Z$ e un fuoco $A$ e tra il punto e la direttrice è una costante chiamata eccentricità. Le due direttrici si intersecano in un punto $T$, e a partire dalle eccentricità delle iperboli (che sono quantità note), Newton poté costruire una retta passante per $T$ sulla quale $Z$ dovesse giacere. D'altronde, anche il rapporto delle distanze ${\overline {TZ}}/{\overline {TA}}$ è noto: pertanto, $Z$ deve giacere anche su un cerchio noto, dal momento che Apollonio aveva dimostrato che un cerchio può essere definito come luogo dei punti che hanno un dato rapporto di distanze da due punti fissati (in effetti, questa definizione è alla base delle coordinate bipolari). Perciò, le soluzioni del problema di Apollonio sono rappresentate dalle intersezioni di una retta con un cerchio.

La ricostruzione di Viète

Come descritto sotto, il problema di Apollonio ha dieci casi particolari, a seconda della natura dei tre oggetti di partenza, che possono essere cerchi (C), rette (R) o punti (P). Di solito questi dieci casi sono distinti da diciture come CCP (cerchio-cerchio-punto). Viète risolse tutti questi casi tramite costruzioni per riga e compasso, e fece uso delle soluzioni dei casi più semplici per risolvere quelli più complessi.

Figura 4: Due cerchi tangenti rimangono tali se i loro raggi vengono modificati di una stessa quantità. Un cerchio risolvente (in rosa) rimpicciolisce o si ingrandisce insieme a un cerchio che lo tange internamente, mentre i cerchi tangenti esternamente fanno il contrario.

Viète iniziò a risolvere il caso PPP (tre punti iniziali) seguendo il metodo esposto da Euclide nei suoi Elementi. Da questo derivò un lemma, equivalente al teorema di potenza di un punto, che usò per risolvere il caso RPP. Viète risolse anche il caso RRR, di nuovo rifacendosi a Euclide, usando il teorema della bisettrice. Quindi, derivò un lemma per costruire la retta perpendicolare a una bisettrice che passa per un punto, che adoperò per risolvere il caso RRP. Con questo egli risolse tutti e quattro i casi del problema di Apollonio che non coinvolgono cerchi.

Per risolvere i rimanenti casi, Viète sfruttò il fatto che i cerchi iniziali e il cerchio risolvente possono essere riscalati contemporaneamente senza che si perdano le proprietà di tangenza (Figura 4). Se il raggio del cerchio risolvente viene modificato di una quantità $\Delta r$, il raggio del cerchio che gli è internamente tangente deve essere cambiato della stessa quantità, mentre i cerchi esternamente tangenti devono essere riscalati di $-\Delta r$.

Viète si avvalse di questo approccio per rimpicciolire uno dei cerchi iniziali fino a un punto, riducendo il problema a un caso già risolto: dapprima risolse il caso CRR riducendo il cerchio a un punto, e rendendo il caso un RRP. Quindi passò al caso CRP, che risolse con l'impiego di tre lemmi, per poi ricondurre a questo caso anche il caso CCR (riducendo uno dei cerchi). In seguito, Viète risolse i casi CPP e CCP (quest'ultimo impiegando due lemmi). Infine, Viète risolse il caso generale CCC, riportandolo al caso CCP tramite la riduzione di uno dei cerchi.

Soluzioni algebriche

Il problema di Apollonio può essere descritto da un sistema di tre equazioni in tre incognite (le coordinate del centro del cerchio risolvente e il suo raggio. Siano $(x_{i},y_{i})$ le coordinate cartesiane del centro dell'$i$-esimo cerchio iniziale (per $i=1,2,3$), e $(x_{s},y_{s})$ le coordinate di un cerchio risolvente. Allo stesso modo, siano $r_{i}$ e $r_{s}$, rispettivamente, i raggi di questi cerchi. Le richieste di tangenza per il cerchio risolvente sono espresse dalle equazioni quadratiche accoppiate:

${\begin{cases}\left(x_{s}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{s}-y_{1}\right)^{2}=\left(r_{s}-s_{1}r_{1}\right)^{2}\\\left(x_{s}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{s}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{s}-s_{2}r_{2}\right)^{2}\\\left(x_{s}-x_{3}\right)^{2}+\left(y_{s}-y_{3}\right)^{2}=\left(r_{s}-s_{3}r_{3}\right)^{2}.\end{cases}}$

I tre numeri $s_{i}$ ($i=1,2,3$) che si trovano al secondo membro delle equazioni possono valere $\pm 1$, a seconda che la tangenza tra il cerchio risolvente e l'$i$-esimo cerchio iniziale sia interna ($s=1$) o esterna ($s=-1$). Ad esempio, in Figura 1 e 4, il cerchio risolvente rosa è internamente tangente al cerchio iniziale di media grandezza sulla destra, ed esternamente tangente ai cerchi grande e piccolo sulla sinistra; numerando i cerchi in ordine di estensione, possiamo assegnare a questa particolare terna la segnatura $(-,+,-)$; poiché i segni possono essere scelti indipendentemente, esistono otto ($2^{3}$) distinti sistemi di equazioni che generano cerchi risolventi.

Il sistema di tre equazioni può essere risolto con il metodo dei risultanti. Una volta esplicitate, tutte e tre le equazioni hanno al primo membro $x_{s}^{2}+y_{s}^{2}$, e al secondo membro $r_{s}^{2}$: sottraendo le equazioni si semplificano questi termini quadratici, e i rimanenti termini lineari possono essere riorganizzati in formule che forniscono le coordinate cercate $x_{s}$ e $y_{s}$:

${\begin{cases}x_{s}=M+Nr_{s}\\y_{s}=P+Qr_{s}\end{cases}}$

dove $M,N,P,Q$ sono funzioni note dei cerchi iniziali, e la scelta dei segni. Sostituendo una di queste formule in una delle tre equazioni di partenza si arriva a un'equazione di secondo grado in $r_{s}$ che può essere risolta esplicitamente. Sostituendo il valore di $r_{s}$ nelle equazioni di primo grado si ottengono i corrispondenti valori delle coordinate del centro.

I segni $s_{i}$ al secondo membro delle equazioni possono essere scelti in otto modi diversi, e ciascuna scelta dei segni fornisce fino a due soluzioni, visto che l'equazione in $r_{s}$ è di secondo grado. Questo potrebbe (erroneamente) suggerire che possono esserci fino a sedici soluzioni del problema di Apollonio; tuttavia, a causa della simmetria delle equazioni, se $(r_{s},x_{s},y_{s})$ è una soluzione, con segni $s_{i}$, allora è soluzione anche $(-r_{s},x_{s},y_{s})$, con segni $-s_{i}$; poiché le due terne rappresentano lo stesso cerchio, il problema di Apollonio può avere fino a otto soluzioni indipendenti (Figura&nbps;2). Un modo per evitare questo conteggio doppio è considerare soluzioni accettabili solo quelle che restituiscono un valore positivo per il raggio.

Le due radici di una qualunque equazione di secondo grado possono essere di tre tipi: reali e distinte, reali e identiche (cioè una radice di molteplicità due), o complesse coniugate e distinte. Il primo caso corrisponde alla situazione normale; ogni coppia di radici corrisponde a una coppia di soluzioni che sono accoppiate dall'inversione circolare, come descritto sotto (Figura 6). Nel secondo caso, le radici coincidenti corrispondono a un cerchio risolvente che è l'inverso di se stesso. In questo caso, uno dei cerchi iniziali è anche un cerchio risolvente, e il numero di soluzioni distinte si riduce di uno. Il terzo caso non corrisponde ad alcuna soluzione geometricamente possibile, dato che la misura di un raggio deve essere un numero reale; pertanto, il numero di soluzioni si riduce di due. Notevole è il fatto che il problema di Apollonio non può avere sette soluzioni, anche se può avere qualunque altro numero di soluzioni da zero a otto.

Geometria sferica di Lie

Le stesse equazioni algebriche possono essere derivate nel contesto della geometria sferica di Lie. Questa geometria considera cerchi, linee e punti alla stessa stregua, come vettori 5-dimensionali $\mathbf {X} =\left(v,c_{x},c_{y},w,sr\right)$, dove $\mathbf {c} =(c_{x},c_{y})$ è il centro del cerchio e $r$ il suo raggio (non negativo). Se $r$ è diverso da zero, il segno $s$ può essere positivo o negativo; questo parametro descrive l'orientazione del cerchio (positivo per il senso antiorario e negativo per il senso orario). Il parametro $w$ è nullo per una linea retta, vale uno altrimenti.

In questo spazio 5-dimensionale è definito un prodotto bilineare simile al prodotto scalare:

$\langle \mathbf {X} _{1}|\mathbf {X} _{2}\rangle :=v_{1}w_{2}+v_{2}w_{1}+\mathbf {c} _{1}\cdot \mathbf {c} _{2}-s_{1}s_{2}r_{1}r_{2}.$

La quadrica di Lie è definita come lo spazio dei vettori che, moltiplicati per sé stessi, danno zero (ossia, la cui norma rispetto al prodotto scalare così definito è nulla):

$Q=\{\mathbf {X} :\langle \mathbf {X} |\mathbf {X} \rangle =0\}$.

Siano $\mathbf {X} _{1}$ e $\mathbf {X} _{2}$ appartenenti a $Q$; la norma della loro differenza è

$\langle \mathbf {X} _{1}-\mathbf {X} _{2}|\mathbf {X} _{1}-\mathbf {X} _{2}\rangle =2\left(v_{1}-v_{2}\right)\left(w_{1}-w_{2}\right)+\left(\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2}\right)\cdot \left(\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2}\right)-\left(s_{1}r_{1}-s_{2}r_{2}\right)^{2}.$

Il prodotto è distributivo rispetto all'addizione e alla sottrazione (più precisamente, è bilineare):

$\langle \mathbf {X} _{1}-\mathbf {X} _{2}|\mathbf {X} _{1}-\mathbf {X} _{2}\rangle =\langle \mathbf {X} _{1}|\mathbf {X} _{1}\rangle -2\langle \mathbf {X} _{1}|\mathbf {X} _{2}\rangle +\langle \mathbf {X} _{2}|\mathbf {X} _{2}\rangle .$

Poiché $\langle \mathbf {X} _{1}|\mathbf {X} _{1}\rangle =\langle \mathbf {X} _{2}|\mathbf {X} _{2}\rangle =0$ (per la richiesta di appartenenza a $Q$), e poiché $w_{1}=w_{2}=1$ (perché richiediamo che siano cerchi), il prodotto di due vettori di questo tipo è

$-2\langle \mathbf {X} _{1}|\mathbf {X} _{2}\rangle =\|\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2}\|^{2}-\left(s_{1}r_{1}-s_{2}r_{2}\right)^{2}.$

dove $\|\cdot \|$ rappresenta la norma euclidea. Questa formula mostra che se due vettori $\mathbf {X} _{1}$ e $\mathbf {X} _{2}$ appartenenti alla quadrica $Q$ sono ortogonali rispetto a questo prodotto scalare, cioè se $\langle \mathbf {X} _{1}|\mathbf {X} _{2}\rangle =0$, allora i cerchi corrispondenti sono tangenti. Infatti, se i due segni $s_{1}$ e $s_{2}$ sono concordi (cioè se i cerchi hanno la stessa orientazione), i cerchi sono internamente tangenti; la distanza tra i loro centri è uguale alla differenza dei raggi:

$\|\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2}\|^{2}=\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}.$

Viceversa, se i due segni sono discordi (cioè se i cerchi hanno orientazione opposta), i cerchi sono esternamente tangenti; la distanza tra i loro centri è uguale alla somma dei raggi:

$\|\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2}\|^{2}=\left(r_{1}+r_{2}\right)^{2}.$

Pertanto, il problema di Apollonio può essere riformulato nella geometria di Lie come il problema di trovare vettori ortogonali appartenenti alla quadrica di Lie; nello specifico, l'obiettivo è identificare vettori soluzione $\mathbf {X} _{sol}$ che appartengono alla quadrica e che sono ortogonali ai vettori $\mathbf {X} _{1},\mathbf {X} _{2}$ e $\mathbf {X} _{3}$ corrispondenti ai cerchi iniziali.

$\langle \mathbf {X} _{\mathrm {sol} }|\mathbf {X} _{\mathrm {sol} }\rangle =\langle \mathbf {X} _{\mathrm {sol} }|\mathbf {X} _{1}\rangle =\langle \mathbf {X} _{\mathrm {sol} }|\mathbf {X} _{2}\rangle =\langle \mathbf {X} _{\mathrm {sol} }|\mathbf {X} _{3}\rangle =0$

Il vantaggio di questa riformulazione è che si possono sfruttare i teoremi dell'algebra lineare sul massimo numero di vettori linearmente indipendenti mutuamente ortogonali. Ciò fornisce un altro modo per calcolare il massimo numero di soluzioni ed estendere il teorema a spazi di dimensione superiore.

Metodi di inversione

Figura 5: Inversione in un cerchio. Il punto $P^{\prime }$ è l'inverso del punto $P$ rispetto al cerchio.

Un contesto naturale per il problema di Apollonio è la geometria inversiva. La strategia di base dei metodi inversivi è trasformare un dato problema di Apollonio in un altro più semplice da risolvere; le soluzioni al problema originale si trovano a partire dalle soluzioni del problema trasformato invertendo la trasformazione. Quest'ultima scambia un problema di Apollonio in un altro, quindi deve mandare punti, cerchi e rette in altri punti, cerchi e rette, e non in altre figure. L'inversione circolare gode di questa proprietà, e consente di scegliere in modo appropriato il centro e il raggio del cerchio invertente. Altre trasformazioni candidate sono le isometrie euclidee del piano; tuttavia, esse non semplificano il problema, dato che si limitano a traslare, ruotare e riflettere gli oggetti del problema originale.

L'inversione rispetto a un cerchio di centro $\mathbf {O}$ e raggio $R$ consiste nella seguente operazione (Figura 5): ogni punto $\mathbf {P}$ viene mandato in un punto $\mathbf {P} ^{\prime }$ in modo che $\mathbf {O}$, $\mathbf {P}$ e $\mathbf {P} ^{\prime }$ siano allineati, e il prodotto delle distanza di $\mathbf {P}$ e $\mathbf {P} ^{\prime }$ dal centro $\mathbf {O}$ sia uguale al raggio $R$ elevato al quadrato:

${\overline {\mathbf {OP} }}\cdot {\overline {\mathbf {OP^{\prime }} }}=R^{2}.$

Se $\mathbf {P}$ giace fuori dal cerchio, $\mathbf {P} ^{\prime }$ è al suo interno, e viceversa. Se $\mathbf {P}$ coincide con $\mathbf {O}$, l'inversione manda il punto "all'infinito" (in analisi complessa, si può definire il punto $\infty$ in termini di sfera di Riemann). L'inversione ha l'utile proprietà che trasforma rette e cerchi in rette e cerchi, e punti in punti. Generalmente, i cerchi vegono trasformati in altri cerchi; tuttavia, se un cerchio passa per il centro del cerchio invertente, esso è trasformato in una retta, e viceversa. Inoltre, se un cerchio interseca il cerchio invertente ad angolo retto, esso viene mandato in se stesso a seguito dell'inversione.

Le inversioni circolari sono un sottoinsieme delle trasformazioni di Möbius della sfera di Riemann. Il problema di Apollonio sul piano euclideo può essere trasferito alla sfera tramite la proiezione stereografica inversa; pertanto, per ogni soluzione del problema di Apollonio sul piano esiste la corrispettiva soluzione sulla sfera. Di seguito vengono esposte le metodologie inversive più comuni per il problema planare, ma sono possibili soluzioni inversive differenti.

Coppie di soluzioni per inversione

Figure 6: A conjugate pair of solutions to Apollonius' problem (pink circles), with given circles in black.

Le soluzioni al problema di Apollonio generalmente si presentano in coppie: per ogni cerchio risolvente esiste un cerchio risolvente coniugato (Figura 6). Un cerchio risolvente esclude il cerchio dato che è incluso dal suo coniugato e viceversa. Per esempio, in Figura 6, un cerchio risolvente (rosa, in alto a sinistra) include due cerchi dati (neri), ma ne esclude un terzo; di converso, il suo coniugato (anch'esso rosa, in basso a destra) include il terzo ma esclude gli altri due. Tra i due cerchi coniugati esiste una relazione di inversion, by the following argument.

In general, any three distinct circles have a unique circle—the radical circle—that intersects all of them perpendicularly; the center of that circle is the radical center of the three circles. For illustration, the orange circle in Figure 6 crosses the black given circles at right angles. Inversion in the radical circle leaves the given circles unchanged, but transforms the two conjugate pink solution circles into one another. Under the same inversion, the corresponding points of tangency of the two solution circles are transformed into one another; for illustration, in Figure 6, the two blue points lying on each green line are transformed into one another. Hence, the lines connecting these conjugate tangent points are invariant under the inversion; therefore, they must pass through the center of inversion, which is the radical center (green lines intersecting at the orange dot in Figure 6).

Inversion to an annulus

If two of the three given circles do not intersect, a center of inversion can be chosen so that those two given circles become concentric. Under this inversion, the solution circles must fall within the annulus between the two concentric circles. Therefore, they belong to two one-parameter families. In the first family (Figure 7), the solutions do not enclose the inner concentric circle, but rather revolve like ball bearings in the annulus. In the second family (Figure 8), the solution circles enclose the inner concentric circle. There are generally four solutions for each family, yielding eight possible solutions, consistent with the algebraic solution.

Figure 7: A solution circle (pink) in the first family lies between concentric given circles (black). Twice the solution radius r_s equals the difference r_outer − r_inner of the inner and outer radii, while twice its center distance d_s equals their sum.

Figure 8: A solution circle (pink) in the second family encloses the inner given circle (black). Twice the solution radius r_s equals the sum r_outer + r_inner of the inner and outer radii, while twice its center distance d_s equals their difference.

When two of the given circles are concentric, Apollonius' problem can be solved easily using a method of Gauss. The radii of the three given circles are known, as is the distance d_non from the common concentric center to the non-concentric circle (Figure 7). The solution circle can be determined from its radius r_s, the angle θ, and the distances d_s and d_T from its center to the common concentric center and the center of the non-concentric circle, respectively. The radius and distance d_s are known (Figure 7), and the distance d_T = r_s ± r_non, depending on whether the solution circle is internally or externally tangent to the non-concentric circle. Therefore, by the law of cosines,

$\cos \theta ={\frac {d_{\mathrm {s} }^{2}+d_{\mathrm {non} }^{2}-d_{\mathrm {T} }^{2}}{2d_{\mathrm {s} }d_{\mathrm {non} }}}\equiv C_{\pm }.$

Here, a new constant C has been defined for brevity, with the subscript indicating whether the solution is externally or internally tangent. A simple trigonometric rearrangement yields the four solutions

$\theta =\pm 2\ \mathrm {atan} \left({\sqrt {\frac {1-C}{1+C}}}\right).$

This formula represents four solutions, corresponding to the two choices of the sign of θ, and the two choices for C. The remaining four solutions can be obtained by the same method, using the substitutions for r_s and d_s indicated in Figure 8. Thus, all eight solutions of the general Apollonius problem can be found by this method.

Any initial two disjoint given circles can be rendered concentric as follows. The radical axis of the two given circles is constructed; choosing two arbitrary points P and Q on this radical axis, two circles can be constructed that are centered on P and Q and that intersect the two given circles orthogonally. These two constructed circles intersect each other in two points. Inversion in one such intersection point F renders the constructed circles into straight lines emanating from F and the two given circles into concentric circles, with the third given circle becoming another circle (in general). This follows because the system of circles is equivalent to a set of Apollonian circles, forming a bipolar coordinate system.

Resizing and inversion

The usefulness of inversion can be increased significantly by resizing. As noted in Viète's reconstruction, the three given circles and the solution circle can be resized in tandem while preserving their tangencies. Thus, the initial Apollonius problem is transformed into another problem that may be easier to solve. For example, the four circles can be resized so that one given circle is shrunk to a point; alternatively, two given circles can often be resized so that they are tangent to one another. Thirdly, given circles that intersect can be resized so that they become non-intersecting, after which the method for inverting to an annulus can be applied. In all such cases, the solution of the original Apollonius problem is obtained from the solution of the transformed problem by undoing the resizing and inversion.

Shrinking one given circle to a point

In the first approach, the given circles are shrunk or swelled (appropriately to their tangency) until one given circle is shrunk to a point P. In that case, Apollonius' problem degenerates to the CCP limiting case, which is the problem of finding a solution circle tangent to the two remaining given circles that passes through the point P. Inversion in a circle centered on P transforms the two given circles into new circles, and the solution circle into a line. Therefore, the transformed solution is a line that is tangent to the two transformed given circles. There are four such solution lines, which may be constructed from the external and internal homothetic centers of the two circles. Re-inversion in P and undoing the resizing transforms such a solution line into the desired solution circle of the original Apollonius problem. All eight general solutions can be obtained by shrinking and swelling the circles according to the differing internal and external tangencies of each solution; however, different given circles may be shrunk to a point for different solutions.

Resizing two given circles to tangency

In the second approach, the radii of the given circles are modified appropriately by an amount Δr so that two of them are tangential (touching). Their point of tangency is chosen as the center of inversion in a circle that intersects each of the two touching circles in two places. Upon inversion, the touching circles become two parallel lines: Their only point of intersection is sent to infinity under inversion, so they cannot meet. The same inversion transforms the third circle into another circle. The solution of the inverted problem must either be (1) a straight line parallel to the two given parallel lines and tangent to the transformed third given circle; or (2) a circle of constant radius that is tangent to the two given parallel lines and the transformed given circle. Re-inversion and adjusting the radii of all circles by Δr produces a solution circle tangent to the original three circles.

Gergonne's solution

Figure 9: The two tangent lines of the two tangent points of a given circle intersect on the radical axis R (red line) of the two solution circles (pink). The three points of intersection on R are the poles of the lines connecting the blue tangent points in each given circle (black).

Gergonne's approach is to consider the solution circles in pairs. Let a pair of solution circles be denoted as C_A and C_B (the pink circles in Figure 6), and let their tangent points with the three given circles be denoted as A₁, A₂, A₃, and B₁, B₂, B₃, respectively. Gergonne's solution aims to locate these six points, and thus solve for the two solution circles.

Gergonne's insight was that if a line L₁ could be constructed such that A₁ and B₁ were guaranteed to fall on it, those two points could be identified as the intersection points of L₁ with the given circle C₁ (Figure 6). The remaining four tangent points would be located similarly, by finding lines L₂ and L₃ that contained A₂ and B₂, and A₃ and B₃, respectively. To construct a line such as L₁, two points must be identified that lie on it; but these points need not be the tangent points. Gergonne was able to identify two other points for each of the three lines. One of the two points has already been identified: the radical center G lies on all three lines (Figure 6).

To locate a second point on the lines L₁, L₂ and L₃, Gergonne noted a reciprocal relationship between those lines and the radical axis R of the solution circles, C_A and C_B. To understand this reciprocal relationship, consider the two tangent lines to the circle C₁ drawn at its tangent points A₁ and B₁ with the solution circles; the intersection of these tangent lines is the pole point of L₁ in C₁. Since the distances from that pole point to the tangent points A₁ and B₁ are equal, this pole point must also lie on the radical axis R of the solution circles, by definition (Figure 9). The relationship between pole points and their polar lines is reciprocal; if the pole of L₁ in C₁ lies on R, the pole of R in C₁ must conversely lie on L₁. Thus, if we can construct R, we can find its pole P₁ in C₁, giving the needed second point on L₁ (Figure 10).

Figure 10: The poles (red points) of the radical axis R in the three given circles (black) lie on the green lines connecting the tangent points. These lines may be constructed from the poles and the radical center (orange).

Gergonne found the radical axis R of the unknown solution circles as follows. Any pair of circles has two centers of similarity; these two points are the two possible intersections of two tangent lines to the two circles. Therefore, the three given circles have six centers of similarity, two for each distinct pair of given circles. Remarkably, these six points lie on four lines, three points on each line; moreover, each line corresponds to the radical axis of a potential pair of solution circles. To show this, Gergonne considered lines through corresponding points of tangency on two of the given circles, e.g., the line defined by A₁/A₂ and the line defined by B₁/B₂. Let X₃ be a center of similitude for the two circles C₁ and C₂; then, A₁/A₂ and B₁/B₂ are pairs of antihomologous points, and their lines intersect at X₃. It follows, therefore, that the products of distances are equal

${\overline {X_{3}A_{1}}}\cdot {\overline {X_{3}A_{2}}}={\overline {X_{3}B_{1}}}\cdot {\overline {X_{3}B_{2}}}$

which implies that X₃ lies on the radical axis of the two solution circles. The same argument can be applied to the other pairs of circles, so that three centers of similitude for the given three circles must lie on the radical axes of pairs of solution circles.

In summary, the desired line L₁ is defined by two points: the radical center G of the three given circles and the pole in C₁ of one of the four lines connecting the homothetic centers. Finding the same pole in C₂ and C₃ gives L₂ and L₃, respectively; thus, all six points can be located, from which one pair of solution circles can be found. Repeating this procedure for the remaining three homothetic-center lines yields six more solutions, giving eight solutions in all. However, if a line L_k does not intersect its circle C_k for some k, there is no pair of solutions for that homothetic-center line.