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Gravitazione

La gravitazione tiene in orbita i pianeti del sistema solare.

La gravità è una delle quattro interazioni fondamentali che regolano l'intero universo. In meccanica classica la gravità risulta essere una forza conservativa, detta forza di gravità, che si manifesta fra corpi dotati di massa, e perciò dotata di un'energia potenziale gravitazionale; nella teoria della relatività generale la forza di gravità è invece legata alla geometria (non euclidea) dello spazio-tempo e devia dalla traiettoria rettilinea anche particelle prive di massa a riposo, quali i fotoni.

Storia

Probabilmente le prime teorie sulla gravitazione risalgono alla filosofia greca. Durante il IV secolo a.C. Aristotele pensava che non ci fosse nessun moto senza una causa: secondo la sua teoria, espressa nel trattato Fisica, gli oggetti cadono al suolo per raggiungere il loro luogo naturale: in particolare gli elementi più pesanti, terra ed acqua, tendono a scendere, mentre l'aria e il fuoco a salire. Durante il medioevo alcuni tentativi di inquadrare la gravitazione si sono avuti in medio oriente con gli astronomi e matematici arabi come Brahmagupta (nel "Brahmasphuta Siddhanta", del(628 d.C.), Ibn al-Haytham nell'undicesimo secolo e Al-Khazini (12° secolo).

Verso la metà del 16° secolo Niccolò Copernico portò all'affermazione il sistema eliocentrico nel De revolutionibus orbium coelestium , mentre entro la prima metà del 17° secolo Galileo Galilei mostrò che corpi in caduta libera, anche con masse differenti, accelerano allo stesso modo. Tra il 1608 e il 1619 Johannes Kepler enunciò le leggi di Keplero, che descrivono con precisione il moto dei pianeti intorno al sole. Intorno al 1660 Robert Hooke formulò la sua legge di gravitazione celeste, che asserisce che ogni pianeta è attratto dal Sole con una forza proporzionale alla sua massa e inversamente proporzionale al quadrato della sua distanza da esso.

Poggiandosi su queste basi il matematico e fisico inglese Sir Isaac Newton pubblicò nel 1687 il libro Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (chiamato spesso semplicemente Principia), nel quale ipotizzò la legge di gravitazione universale. Questa legge esprime l'attrazione di due masse qualsiasi tramite una forza, chiamata forza di gravità, definita da una semplice relazione matematica analoga a quella ipotizzata da Hooke: questo permette così di formulare previsioni e di confrontarle con l'osservazione. Il grande passo in avanti rispetto a Hooke è il suo carattere generale: essa riconduce ad un'unica legge i moti dei gravi sulla terra così come quelli dei pianeti. La legge di gravitazione universale fu immediatamente verificata in accordo con le leggi di Keplero.

La teoria di Newton incontrò il suo più grande successo quando fu utilizzata nel 1843 dal matematico inglese John Couch Adams e, indipendentemente, nel 1846 dal francese Urbain Le Verrier per predire l'esistenza di Nettuno, fornendo una stima sulla posizione e sulla massa del pianeta. Le previsioni di Le Verrier portarono Johann Gottfried Galle ad osservare il pianeta il 23 settembre 1846.

Ironicamente, proprio una discrepanza nei moti dei pianeti del sistema solare è l'indicazione che la teoria di Newton non sia esatta. Nel corso del diciannovesimo secolo si sapeva di una perturbazione nell'orbita di Mercurio che sulla base dei dati allora in possesso non poteva essere spiegata per intero dalle leggi di Newton; ogni tentativo volto alla ricerca di un nuovo pianeta che perturbasse l'orbita di Mercurio (proprio come era successo con Nettuno) si concluse in un insuccesso. Le motivazioni della perturbazione dell'orbita di Mercurio o, più esattamente, della precessione del suo perielio furono scoperte da Albert Einstein nel 1915 quando pubblicò la teoria della relatività generale.

La teoria della relatività generale abbandona il concetto di forza ed introduce lo spazio-tempo curvo, attraverso un formalismo tensoriale. Partendo dal principio di equivalenza, sviluppa una teoria nella quale gli effetti gravitazionali, così come le forze apparenti, sono dovute unicamente alla curvatura dello spazio-tempo, e quindi a proprietà locali dello spazio-tempo, senza bisogno di forze a distanza. Predizioni della relatività generale, sperimentalmente verificate, sono la già detta precessione del perielio di Mercurio, il redshift gravitazionale e l'effetto Shapiro, mentre le onde gravitazionali, pur teorizzate, non sono mai state osservate a causa della piccolezza degli effetti. La teoria della gravitazione di Einstein non è stata l'unica proposta, anzi, prima di lui il fisico Gunnar Nordström, il matematico e filosofo Alfred North Whitehead e lo stesso Bernhard Riemann proposero due teorie geometriche della gravità, ma entrambe in disaccordo con i dati sperimentali.

I tentativi di quantizzazione della gravità non hanno avuto finora buon esito, sebbene esistano varie teorie, raccolte sotto il nome di teorie della gravità quantistica. Diversi modelli della gravità sono dati dalla loop quantum gravity (gravità quantistica ad anelli) e, nell'ambito della teoria delle stringhe, dall'esistenza dei gravitoni.

Un problema ancora aperto è il meccanismo con cui le particelle elementari siano dotate di massa. L'attuale modello teorico standard della fisica delle particelle introduce un termine di massa grazie ad una particella elementare detta Bosone di Higgs. L'esistenza del Bosone di Higgs risulta al momento non verificata.

La gravità nella meccanica classica

La legge di gravitazione universale si può enunciare così:

«Ogni corpo attrae ogni altro corpo con una forza proporzionale alle masse dei due corpi e inversamente proporzionale all'inverso del quadrato della distanza tra di essi.»

In formule, usando la notazione vettoriale, la legge di gravitazione universale si può esprimere:

$\mathbf {F} _{12}=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{\left|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}\right|^{3}}}\left(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}\right)$

dove:

• F₁₂ è la forza che il corpo 1 esercita sul corpo 2, detta forza peso;
• m₁ e m₂ sono le masse dei due corpi;
• r₁ e r₂ indicano le posizioni dei due corpi nel sistema di riferimento considerato;
• G è una costante di proporzionalità, chiamata per l'appunto costante di gravitazione universale, di valore circa pari a $G\simeq 6,667{\frac {m^{3}}{kg\cdot s}}$.

L'intensità della forza è data dalla norma del vettore F₁₂, pari a:

$F_{12}={\frac {Gm_{1}m_{2}}{d^{2}}}$

con d = |r₁-r₂|, pari alla distanza dei due corpi.

La legge così formulata è valida esattamente in due casi:

• quando i due corpi sono approssimabili come punti materiali: questo è possibile quando la distanza dei due corpi è molto maggiore delle loro dimensioni, come ad esempio nel caso della terra e del sole;
• quando il corpo che si considera "sorgente" del campo gravitazione è dotato di simmetria sferica, come previsto dal teorema di Gauss.

La forza di gravità è una forza conservativa, ammette cioè un'energia potenziale. Ciò significa che il lavoro compiuto dalla forza per spostare un corpo tra due punti diversi dipende soltanto dalla variazione di energia potenziale. Un'altra proprietà della forza peso è quella di poter definire un campo gravitazionale, grandezza vettoriale che definisce l'accelerazione di gravità dovuta dalle sorgenti subita da una piccola massa campione in ogni punto dello spazio.

Sebbene la teoria di Newton sia sorpassata, la maggior parte dei calcoli gravitazionali non relativistici è ancora svolta sulla base della legge di gravitazione universale per via della sua forma matematica molto più semplice della relatività generale, e fornisce i risultati corretti (entro i loro margini di errore) in molte applicazioni.

La gravità nella teoria della relatività generale

La teoria di Newton della gravitazione permette di descrivere con accuratezza la grande maggioranza dei fenomeni gravitazionali nel Sistema Solare ed in molte situazioni astronomiche. Tuttavia, da un punto di vista concettuale essa presenta alcuni punti deboli, successivamente affrontati nella teoria della relatività generale:

1. La teoria di Newton presuppone che la forza gravitazionale sia trasmessa istantaneamente con un meccanismo fisico non ben definito ed indicato con il termine "azione a distanza". Lo stesso Newton tuttavia riteneva tale azione a distanza una spiegazione insoddisfacente sul modo in cui la gravità agisse.
2. Il modello di Newton di spazio e di tempo assoluti è stato contraddetto dalla teoria di Einstein della relatività speciale. Tale teoria è stata sviluppata con successo sulla base del presupposto che esiste una certa velocità a cui i segnali possono essere trasmessi corrispondente alla velocità della luce nel vuoto.
3. La teoria di Newton non prevede correttamente la precessione del perielio dell'orbita del pianeta Mercurio, dando un risultato in disaccordo con le osservazioni di alcune decine di secondi d'arco al secolo.
4. La teoria di Newton predice che la luce è deviata per gravità, ma questa deviazione è metà di quanto osservato sperimentalmente.
5. Il concetto per cui masse gravitazionali ed inerziali sono la stessa cosa (o almeno proporzionali) per tutti i corpi non è spiegato all'interno del sistema di Newton.

Einstein sviluppò una nuova teoria, denominata relatività generale, che include una teoria relativitstica della gravitazione, pubblicata nel 1915. Questa teoria utilizza strumenti matematici molto più raffinati necessari per dare un significato quantitativo, ad esempio, alla nozione di distanza e curvatura di una varietà: questi strumenti, quali il calcolo tensoriale, esistevano già prima di Einstein e furono sviluppati intorno alla metà del diciannovesimo secolo dopo la scoperta delle geometrie non euclidee da parte di Karl Friedrich Gauss, János Bolyai e Nikolai Ivanovich Lobachevsky. In particolare Bernhard Riemann diede una riformulazione generale della geometria, chiamata in suo onore geometria Riemanniana, fornendo gli strumenti matematici per la trattazione dello spazio-tempo curvo.

Nella teoria di Einstein, la gravità non è un'interazione a distanza fra due masse, piuttosto l'evidenza della curvatura dello spazio-tempo. Mentre nella teoria Newtoniana una massa genera un campo gravitazionale, in relatività generale la sua presenza modifica lo spazio-tempo circostante, incurvando le geodetiche, che rappresentano (almeno per brevi tratti) le curve, chiamate linea di universo, che uniscono due punti con una lunghezza minima. Dato che in generale un corpo in caduta libera si muove lungo queste geodetiche, la sua traiettoria apparirà ad un altro osservatore come una curva.

I pianeti quindi hanno orbite ellittiche non per effetto della forza di gravità, ma perché le masse (e l'energia) incurvano lo spazio-tempo: le orbite sono solo la proiezione della geodetica sullo spazio tridimensionale "classico". Le orbite dei pianeti più esterni del sistema solare calcolate con le teorie di Newton e di Einstein , sono sostanzialmente identiche perché la massa del Sole non è abbastanza intensa da manifestare grandi effetti relativistici: gli effetti della relatività si manifestano sui pianeti interni del sistema solare, in quanto la curvatura dello spazio-tempo è tanto più intensa quanto più ci si avvicini al Sole. In questo modo la teoria relativistica della gravità spiega la precessione del perielio di Mercurio.

Anche la traiettoria della luce, a causa della curvatura delle geodetiche vicino a delle masse, è in generale curva: questo perché i fotoni (o in generale le onde elettromagnetiche) si muovono lungo geodetiche con intervallo nullo.

Einstein escludeva l'esistenza di azioni simultanee agenti a distanza: tramite l'interpretazione della gravità come curvatura dello spazio-tempo l'interazione tra due corpi è espressa tramite la struttura dello spazio-tempo. Variazioni dello spazio-tempo, come le onde gravitazionali, si propagano alla velocità della luce, salvaguardando la causalità della relatività generale.

Einstein ha affermato:

«L'orbita di un pianeta intorno al Sole emerge dalla sua traiettoria naturale in uno spazio - tempo modificato; non serve una forza di gravità proveniente dal Sole che agisca sul pianeta. Questo spiega le anomalie nella orbita di Mercurio (la precessione del perielio), non spiegata dalla Gravitazione Newtoniana. La forza si innalza a causa della geometria dello spazio-tempo.»

(Albert Einstein, La Teoria della Relatività.)

La gravità è quindi dovuta a una deformazione geometrica dello spazio-tempo circostante, come mostrano le equazioni di campo di Einstein. La deformazione può essere causata da una massa come da altri fattori, quali l'impulso di una particella oppure l'energia di un campo elettromagnetico: in generale la deformazione è collegata al tensore energia impulso, che racchiude in sé le informazioni sull'energia e l'impulso dello spazio-tempo.

Voci correlate

• Forza fondamentale
• Gravitazione quantistica
• Leggi di Keplero
• Relatività generale
• Massa
• Forza peso

Collegamenti esterni

• Immagine delle differenze gravitazionali della Terra