Valore atteso condizionato

Nella teoria della probabilità, il valore atteso condizionato (o media condizionata) di una variabile casuale è il suo valore atteso rispetto ad una distribuzione di probabilità condizionata.

Trattamento discretoModifica

Il punto di partenza è la definizione di probabilità condizionata: dati due eventi A e B, la probabilità di A dato B è

 

Allo stesso modo si può estendere la probabilità condizionata quando A e B sono esiti di due variabili casuali:

 

(se il denominatore è diverso da 0; 0 altrimenti). In particolare, se B={y} e A={x}, si ha

 

che, lasciando fisso y, può essere mediato:

 

definendo quindi E[X|Y] come quella variabile casuale che vale E[X|Y=y] quando Y=y. Questa definizione, tuttavia, è consistente solamente nel caso in cui X e Y siano discrete, ma perde di senso quando sono continue, in quanto la probabilità che Y sia un certo valore y (così come quella che X sia x) è sempre 0. Per eliminare queste difficoltà la definizione prende strade diverse.

DefinizioneModifica

Data una variabile aleatoria X e una σ-algebra  , un valore atteso condizionato di X rispetto a   è una variabile aleatoria Y tale che

  • Y è misurabile rispetto a  ;
  • Y è in L1, cioè il suo modulo |Y| ha media finita;
  •   per ogni   (1 è la funzione indicatrice).

Il risultato fondamentale che rende questa definizione sensata è l'esistenza, per ogni variabile aleatoria integrabile X e per ogni σ-algebra, di un valore atteso condizionato; inoltre due variabili aleatorie con queste caratteristiche sono uguali quasi certamente, e quindi possono essere considerate sostanzialmente "le stesse"; in tal caso si scrive

 

Tale risultato può essere dimostrato a partire dal teorema di Radon-Nikodym, oppure tramite un argomento di approssimazione.

La definizione è consistente con quella elementare ponendo

 

cioè se si considera la σ-algebra generata dalla variabile casuale Z.

Il valore atteso condizionato può essere interpretato come la miglior approssimazione che è possibile fare di X data l'"informazione" contenuta nella σ-algebra  : così come la media E[X] minimizza la funzione   quando c è un numero reale (ovvero una funzione misurabile sulla σ-algebra banale  ), così il valore condizionato   minimizza   tra le variabili aleatorie  -misurabili. Ovviamente questa interpretazione può essere data solo quando X appartiene a L2.

ProprietàModifica

Il valore atteso condizionato verifica tutte le maggiori proprietà del valore atteso: è positivo (cioè se   allora  ), lineare, e verifica i teoremi della convergenza monotona, della convergenza dominata e il lemma di Fatou quando le ipotesi sono verificate dalla successione {Xn}: ad esempio, se le Xn sono positive e la successione è crescente verso X, allora

 

Un'altra proprietà fondamentale è la possibilità di calcolare una media attraverso il condizionamento: per ogni variabile aleatoria X e per ogni σ-algebra si ha

 

formula che è utile nel calcolo di alcune medie, come nel caso in cui X è una variabile aleatoria definita da un parametro che è anch'esso aleatorio. (Ad esempio, X potrebbe essere una variabile aleatoria binomiale in cui il numero di lanci è una variabile di Poisson.) Un'altra caratteristica è la "proprietà della torre": se   sono due σ-algebre, allora

 

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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