In matematica, il termine valore singolare è utilizzato per indicare due concetti distinti, rispettivamente utilizzati nell'algebra lineare e analisi funzionale e nel contesto degli integrali ellittici.

Algebra lineare e analisi funzionaleModifica

In analisi funzionale, i valori singolari di un operatore compatto   che mappa tra due spazi di Hilbert   e   sono le radici quadrate degli autovalori dell'operatore autoaggiunto non-negativo   (dove   è l'operatore aggiunto di  ).

Si tratta di numeri reali non negativi solitamente scritti in ordine decrescente come  . Se   è a sua volta autoaggiunto allora il maggiore   tra valori singolari è uguale alla norma operatoriale di  .

In algebra lineare, nel caso di una matrice normale   si può applicare il teorema spettrale per ottenere una diagonalizzazione   (tramite matrici unitarie) di   in modo che   e quindi i valori singolari sono semplicemente i valori assoluti degli autovalori.

Nel caso finito-dimensionale, tramite la decomposizione ai valori singolari una matrice può essere decomposta nella forma   dove   e   sono matrici unitarie e   una matrice diagonale (rettangolare) con autovalori sulla diagonale.

Il concetto è stato introdotto da Erhard Schmidt nel 1907. Schmidt chiamava tuttavia "autovalori" i valori singolari; il termine è dovuto a Smithies, nel 1937. Nel 1957 Allahverdiev mostrò la seguente caratterizzazione per l'n-esimo valore singolare:

 

Questa formulazione consente di estendere la nozione di valore singolare ad operatori in spazi di Banach.

Integrali ellitticiModifica

Nell'ambito degli integrali ellittici, un valore singolare è un modulo ellittico   tale per cui:

 

dove   è un integrale ellittico completo di prima specie e:

 

BibliografiaModifica

  • (EN) Gohberg, I. C. and Krein, M. G. Introduction to the Theory of Linear Non-selfadjoint Operators. American Mathematical Society, Providence, R.I.,1969. Translated from the Russian by A. Feinstein. Translations of Mathematical Monographs, Vol. 18.
  • (EN) Golub, G. H. and Van Loan, C. F. Matrix Computations, 3rd ed. Baltimore, MD: Johns Hopkins, 1996.
  • (EN) Marcus, M. and Minc, H. Introduction to Linear Algebra. New York: Dover, p. 191, 1988.
  • (EN) Marcus, M. and Minc, H. A Survey of Matrix Theory and Matrix Inequalities. New York: Dover, p. 69, 1992.
  • (EN) Whittaker, E. T. and Watson, G. N. A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 524-528, 1990.

Voci correlateModifica

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