Valutazione p-adica

In teoria dei numeri, per un dato numero primo , la valutazione p-adica di un intero diverso da zero è il maggiore esponente tale che divida . La valutazione p-adica di 0 è per definizione infinito. È comunemente denotato come . Se è un numero razionale ai minimi termini, così che e siano primi tra loro, allora è uguale a se divide , oppure è uguale a se divide , mentre è uguale a 0 se non divide nessuno dei due. L'applicazione maggiore della valutazione p-adica è nella costruzione del campo dei numeri p-adici.[1]

Definizione e proprietàModifica

Numeri interiModifica

Se   appartiene a  , allora la valutazione p-adica per   è definita come  [2]

 

Numeri razionaliModifica

La valutazione p-adica può essere estesa ai numeri razionali. SI può definire come  [3]

 

Alcune proprietà sono:

 

In aggiunta, se  allora

 

dove   è l'infimo (il minore tra i due).

Il valore assoluto p-adicoModifica

Il valore assoluto p-adico su   è definito come  

 

Il valore assoluto p-adico soddisfa le seguenti proprietà:

Non-negatività  
Definizione positiva  
Moltiplicatività  
Subadditività  
Ultrametricità  
Simmetria  

Uno spazio metrico può essere formato sull'insieme   con un metrico definito da  

 

A volte ci si riferisce al valore assoluto p-adico come "norma p-adica", nonostante non sia una norma in quando non soddisfa il requisito di omogeneità.

NoteModifica

  1. ^ David S. Dummit e Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd, Wiley, 2003, ISBN 0-471-43334-9.
  2. ^ K. Ireland e M. Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory, New York, Springer-Verlag, 2000, p. 3.
  3. ^ A. Khrennikov e M. Nilsson, Template:Mvar-adic Deterministic and Random Dynamics, Kluwer Academic Publishers, 2004, p. 9.

Voci correlateModifica