Distribuzione geometrica

(Reindirizzamento da Variabile casuale geometrica)
Distribuzione geometrica
Funzione di distribuzione discreta
distribuzione di probabilità
Funzione di ripartizione
funzione di ripartizione
Parametri
Supporto
Funzione di densità
Funzione di ripartizione
Valore atteso
Mediana se
Moda
Varianza
Indice di asimmetria
Curtosi
Entropia
Funzione generatrice dei momenti
Funzione caratteristica

In teoria della probabilità la distribuzione geometrica è una distribuzione di probabilità discreta sui numeri naturali senza l'elemento "0" , che segue una progressione geometrica:

È la probabilità che il primo successo (o evento in generale) richieda l'esecuzione di k prove indipendenti, ognuna con probabilità di successo p. Se la probabilità di successo in ogni prova è p, allora la probabilità che alla k-esima prova si ottenga il primo successo è

con k = 1, 2, 3, …

La formula qui sopra è usata, dunque, per calcolare la probabilità di fare un certo numero k di tentativi fino ad ottenere il primo successo (al k-esimo tentativo). Qui sotto invece, la seguente distribuzione esprime la probabilità di avere k fallimenti prima di ottenere il primo successo:

per k = 0, 1, 2, 3, …

In entrambi i casi, la successione di probabilità è una serie geometrica.

DefinizioneModifica

La distribuzione geometrica   è la distribuzione di probabilità sui numeri naturali della forma

 , con  

dove q indica la probabilità di insuccesso. Il parametro   si ricava da

 .

E ricordando la definizione di q si ottiene 1. Questo risultato è di fondamentale importanza: significa che per quanto sia piccola la probabilità che un evento accada, in un processo di Bernoulli questo prima o poi accadrà (questo si ricollega al teorema della scimmia instancabile).

Se la variabile casuale X ha la distribuzione geometrica sopra descritta riguardante il numero di estrazioni necessarie per ottenere il primo successo, cioè X è distribuita secondo   , allora la distribuzione della variabile casuale   sarà   . Nell'esempio citato sopra, X è il numero di estrazioni da fare perché esca un numero fissato (alla X-esima estrazione), mentre Y è il numero di fallimenti prima di avere il primo successo.

Processo di BernoulliModifica

La distribuzione geometrica di parametro q descrive anche il numero Y di fallimenti che precedono il primo successo in un processo di Bernoulli   di parametro  :

 

CaratteristicheModifica

Una variabile aleatoria T con distribuzione geometrica di parametro q e avente come supporto i numeri naturali escluso il numero 0 ha

 
 
 
 
  • funzione generatrice dei momenti  
  • funzione caratteristica  

I quantili si ricavano dalla funzione di ripartizione:

  • se   è un numero intero ( ) allora   e  ;
  • se invece   non è intero, allora   (parte intera).

In particolare la mediana è

  se   con   intero,
  altrimenti.

Assenza di memoriaModifica

La distribuzione geometrica è priva di memoria, ovvero

 

ed è l'unica distribuzione di probabilità discreta con questa proprietà.

L'indipendenza delle prove in un processo di Bernoulli implica l'assenza di memoria della distribuzione geometrica. D'altro canto, ogni variabile aleatoria T a supporto sui numeri naturali e priva di memoria rispetta

 

pertanto ha una distribuzione di probabilità geometrica di parametro  .

GeneralizzazioniModifica

Una generalizzazione della distribuzione geometrica è la distribuzione di Pascal (o distribuzione binomiale negativa), che descrive il numero di fallimenti precedenti il successo r-esimo in un processo di Bernoulli.

Un'ulteriore generalizzazione della distribuzione di Pascal è la distribuzione di Panjer che, come la distribuzione geometrica, definisce le probabilità per ricorsione.

EsempiModifica

La probabilità che un dado (equilibrato, a 6 facce) debba venire lanciato esattamente 10 volte prima di fornire un "4" è data dalla distribuzione geometrica. Il lancio del dado può essere considerato un processo di Bernoulli, in cui ogni prova Xi ha probabilità   di fornire "4" (successo) e   di fornire un altro numero (fallimento). La probabilità cercata è quindi

 

La probabilità che dopo 10 lanci sia uscito almeno un "4" è invece

 

La probabilità che al decimo lancio si ottenga un "4" dopo che per 9 lanci questo numero non è mai stato ottenuto è facilmente calcolabile grazie alla mancanza di memoria

 

Voci correlateModifica

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