Funzione gradino

In matematica, una funzione reale si dice funzione a gradino o funzione a gradinata o funzione a scala se è costante a tratti.

Ad esempio, la funzione seguente è a gradino:

$F:\mathbb {R} \to [0,1],x\mapsto {\begin{cases}0&x<0\\0,2&x\in [0,2)\\0,6&x\in [2,4)\\1&x\geq 4\end{cases}}$

In generale, detta ${\textstyle A_{i}=[x_{i},x_{i+1}),i\in I,-\infty \leq x_{i}\leq +\infty }$ una partizione - finita o infinita a seconda della cardinalità di ${\textstyle I}$- del dominio, allora ${\textstyle f:A\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ è detta a gradino se esistono ${\textstyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in \mathbb {R} }$ tali che:

$f(x)=\sum _{i\in I}\alpha _{i}\cdot \chi _{A_{i}}(x)$

dove $\chi _{A_{i}}(x)$ è la funzione indicatrice dell'insieme $A_{i}$, cioè

$f_{/A_{i}}(x)=\alpha _{i}\quad \forall x\in A_{i}$

Una funzione a gradino non è altro che una combinazione lineare di funzioni indicatrici.

Proprietà

Una funzione a gradino non è generalmente continua, come è facile notare, ma è comunque continua quasi ovunque (possiede un numero finito o numerabile di discontinuità) e dunque è integrabile secondo Riemann; il suo integrale è

$\int f(x)\mathop {} \!\mathrm {d} x=\sum _{i\in I}\alpha _{i}(x_{i+1}-x_{i})$,

cioè, come è immaginabile, l'area sottesa è la somma delle aree dei singoli rettangolini di base $(x_{i+1}-x_{i})$ e altezza $\alpha _{i}$.

Dall'integrale di particolari funzioni a gradino Riemann partirà poi per la costruzione del suo integrale.

Voci correlate

• Funzione gradino di Heaviside
• Funzione segno
• Funzione semplice, la generalizzazione dell'argomento in uno spazio misurabile
• La funzione di ripartizione di una variabile casuale discreta è una funzione a gradino
• Integrale di Riemann

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Collegamenti esterni

• step function, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Funzione gradino, su MathWorld, Wolfram Research.