Varietà affine

In geometria algebrica, una varietà affine è il sottoinsieme di uno spazio affine -dimensionale su un campo algebricamente chiuso caratterizzato dall'annullarsi simultaneo di tutti i polinomi di un sottoinsieme di . Un aperto (secondo la topologia di Zariski) di una varietà affine è detto varietà quasi affine.

Morfismi tra varietà affiniModifica

Una funzione regolare per una varietà affine   è una funzione   tale che per ogni punto   esiste un intorno del punto in cui  , dove  . L'insieme di tutte le funzioni regolari su   è l'anello  .

Un morfismo tra due varietà è una funzione   che induce un morfismo di anelli  .

Algebra affineModifica

Dato un insieme qualsiasi di polinomi, la varietà affine che definiscono è la stessa definita dall'ideale   generato da questi polinomi. Si può quindi definire l'algebra affine di una varietà affine   come la  -algebra finitamente generata  .

Si dimostra che due varietà affini sono isomorfe se e solo se le loro algebre affini sono isomorfe. Inoltre se si associa ad ogni varietà affine la propria algebra e ad ogni morfismo   il morfismo  , si ottiene un funtore controvariante tra la categoria delle varietà affini e quella delle  -algebre finitamente generate.

ProprietàModifica

  • Per la noetherianità dell'anello dei polinomi, ci si può ridurre a considerare un numero finito di polinomi.
  • Per definizione, una varietà affine è chiusa secondo la topologia di Zariski, ma in quanto intersezione finita di luoghi di zeri, è chiusa anche per la topologia standard se   o  .
  • Le varietà affini formano una categoria sia con i morfismi di varietà, sia con le mappe razionali.

Voci correlateModifica

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