Versore

vettore utilizzato per indicare una particolare direzione e verso

In matematica, un versore è un vettore in uno spazio normato di modulo uguale ad 1. Un versore è utilizzato per indicare una particolare direzione e verso.

Dato un qualunque vettore (diverso dal vettore nullo che è l'unico ad avere modulo pari a zero) è possibile formarne un versore moltiplicandolo per il reciproco del suo modulo:

Esempi modifica

Esempi di versori comunemente utilizzati sono:

  • I versori associati agli assi cartesiani nello spazio: sono una terna di vettori di modulo unitario, ognuno parallelo ad uno degli assi coordinati. Sono indicati equivalentemente con:
    1.  
    2.  
    3.  
    4.  
    5.  
    6.  
  • I versori associati agli assi cartesiani nel piano: analoghi dei precedenti. Sono indicati come i precedenti, con l'eccezione che il terzo versore è mancante (e nel sesto caso sono presenti solo due componenti in ognuno dei due vettori rimanenti).
  • I versori associati ad un sistema di coordinate polari nel piano, che indicano la direzione radiale ed angolare. Si possono indicare equivalentemente con:
    1.  
    2.  
    3.  
    4.  
  • Data una curva nel piano, per ogni punto di essa è possibile considerare il versore tangente e il versore normale. Si indicano spesso nei seguenti tre modi equivalenti:
    1.  
    2.  
    3.  

Derivata di un versore modifica

  Lo stesso argomento in dettaglio: Derivata.

Sia   un versore dipendente dal tempo. Se consideriamo il prodotto scalare di questo vettore per se stesso abbiamo:

 

e ricordando che i versori hanno modulo unitario si ha

 

Prendendo quest'ultima espressione, e derivandola membro a membro rispetto al tempo otteniamo:

 

Data la commutatività del prodotto scalare

 
 

Poiché deve essere nullo il prodotto scalare di  , si evince che la derivata di un versore è sempre perpendicolare al versore stesso. Ciò in quanto il prodotto scalare può anche essere visto come la proiezione di un vettore sull'altro, che si annulla se e solo se i due vettori sono appunto perpendicolari.

La derivata di un versore, in generale, non è un versore; per dimostrarlo basta considerare il generico versore in coordinate polari:

 

che in coordinate cartesiane diviene:

 

Derivando rispetto a   si ottiene:

 

dove il termine

 

è il versore ortogonale di modulo unitario, e dove il termine

 

è in generale diverso dall'unità.

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