Vettore nullo

In algebra lineare, il vettore nullo (o elemento zero) di uno spazio vettoriale è l'elemento neutro dell'operazione di addizione definita nello spazio, cioè quel vettore che lascia invariato qualunque vettore dello spazio a cui venga sommato. Tale vettore esiste sempre (per assioma) in qualunque spazio vettoriale, ed è possibile dimostrare che è anche unico.

DefinizioneModifica

Sia   uno spazio vettoriale definito sul campo  . Dagli assiomi che definiscono lo spazio, esiste un elemento   tale che, se   rappresenta l'operazione di somma tra vettori, allora:[1]

 

Questo è il vettore nullo. Tramite il vettore nullo si definisce (e si dimostra che è unico) l'opposto di un qualunque vettore  ; esso è il vettore   tale che:

 .

(si richiede per assioma che  ).

Da questi due assiomi segue che il vettore nullo è opposto di se stesso, in quanto per definizione

 .

UnicitàModifica

Il vettore nullo è univocamente determinato dalla propria definizione.

Siano infatti   due vettori per cui valga la definizione di vettore nullo. Allora

 .

ProprietàModifica

Proprietà generaliModifica

Si indichi con   l'elemento neutro della somma di  ; il vettore nullo gode delle seguenti proprietà:

  •  .

Per le proprietà di campo di cui gode  , 0 ammette opposto e questo è 0, sicché  :

 

(distributività del prodotto per uno scalare). Per gli assiomi di spazio vettoriale, esiste l'opposto di  :

 

Il primo membro è il vettore nullo, per definizione, mentre al secondo membro si applica l'associatività della somma, ottenendo:

 .
  •  

L'opposto del vettore nullo è il vettore nullo, sicché  :

 

(distributività del prodotto per uno scalare). Per gli assiomi di spazio vettoriale, esiste l'opposto di  :

 

Il primo membro è il vettore nullo, per definizione, mentre al secondo membro si applica l'associatività della somma, ottenendo:

 .
  •  

L'implicazione a sinistra   segue dalle prime due proprietà. Per quanto riguarda l'implicazione a destra, si supponga che:

 

Allora, o  , nel qual caso non c'è nulla da dimostrare, o  , nel qual caso esso ammette inverso per le proprietà di  , cioè esiste   tale che  , dove 1 è l'elemento neutro della moltiplicazione in  . Per gli assiomi di spazio vettoriale,   sicché:

 
 .
  • Un insieme di vettori che includa il vettore nullo è necessariamente linearmente dipendente; questo vale anche qualora l'insieme consti del solo vettore nullo. Data infatti una combinazione lineare di un simile sistema di vettori, è sufficiente porre tutti i coefficienti uguali a zero tranne quello che moltiplica il vettore nullo, e il risultato sarà zero.
  • Per ogni base fissata   dello spazio finito-dimensionale  , il vettore delle coordinate del vettore nullo è il vettore  .

Valga la scrittura in coordinate

 

Allora, poiché  :

 

da cui, essendo i vettori di base linearmente indipendenti:

 

per cui  .

  • Il vettore nullo deve necessariamente appartenere a qualunque sottoinsieme non vuoto di uno spazio vettoriale in cui sia garantita l'esistenza dell'opposto e la chiusura rispetto a combinazioni lineari (un tale sottoinsieme è detto sottospazio vettoriale, e si dimostra essere a sua volta uno spazio vettoriale). In particolare, l'insieme costituito dal solo vettore nullo è uno spazio vettoriale (nonché lo spazio vettoriale di minima cardinalità possibile): esso è un sottospazio di qualunque spazio vettoriale, e la sua dimensione è per definizione 0.

Proprietà in spazi più strutturatiModifica

  • Se in   è definito un prodotto scalare o hermitiano non degenere  , allora
 .

Questo segue dall'isomorfismo tra un qualunque spazio vettoriale e il suo spazio duale (l'insieme dei funzionali lineari definiti su di esso). In questo senso, al vettore nullo corrisponde tramite isomorfismo il funzionale nullo.

  • Se   è uno spazio normato, allora per definizione
 ;

(questo non vale negli spazi seminormati).

  • Negli spazi tridimensionali su cui è definito il prodotto vettoriale il vettore nullo ha la proprietà di annullare sempre il prodotto; inoltre, il prodotto tra due vettori non nulli è il vettore nullo se e solo se questi due vettori sono proporzionali.

Esempi particolariModifica

Nello spazio   (o  ) il vettore nullo rappresenta l'origine degli assi coordinati.

Negli spazi di funzioni (con somma e moltiplicazione per scalare definiti puntualmente) il vettore nullo è la funzione nulla, cioè la funzione che manda il proprio dominio in  .

Nello spazio   delle matrici   a coefficienti nel campo  , il vettore nullo è la matrice i cui elementi sono tutti zero.

NoteModifica

  1. ^ Serge Lang, pag.37.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica