Y di Yule

La variabile di test Y di Yule è un indice di associazione usato in tabelle statistiche dette di contingenza 2x2, ideato dallo statistico scozzese George Udny Yule e correlato con un altro indice dello stesso autore: Q di Yule. Rispetto a quest'ultimo indice il valore assoluto è sempre minore (|Q| > |Y|) a meno che non vi sia indipendenza o completa associazione.

Metodologia

$Y={\frac {{\sqrt {\alpha }}-1}{{\sqrt {\alpha }}+1}}$

ove

α = (P₁₁/P₂₁) / (P₁₂/P₂₂) è il cosiddetto odds ratio

P_ij = P(A_iB_j) ove sia i che j assumono i valori 1 e 2

Tale indice Y varia tra -1 e +1, ove 0 indica l'indipendenza.

Y può essere stimato da

y = (√a-1) / (√a+1)

dove in questo caso

a = (f₁₁/f₂₁) / (f₁₂/f₂₂) in analogia a α (con il vincolo che f_ij sia sempre maggiore di zero

mentre la varianza di y viene stimata con

s²(y) = 1/16 (1-y)² Σ_iΣ_j1/f_ij

Esempio

 Valori assoluti
 +-------------+-------+------+
 |     \ Abile |   Si  |  No  |
 |Sesso \      |       |      |
 +-------------+-------+------+
 |Uomini       |  20   |  80  |
 |Donne        |  90   |  80  |
 +-------------+-------+------+

 Valori relativi (f)
 +-------------+-------+------+
 |     \ Abile |   Si  |  No  |
 |Sesso \      |       |      |
 +-------------+-------+------+
 |Uomini       | 0,074 | 0,296|
 |Donne        | 0,333 | 0,296|
 +-------------+-------+------+

a = (0,074 / 0,333) / (0,296 / 0,296) = 0,222

Y = (√0,222-1)/(√0,222+1) = -0,359

Valori di q differenti

Collassando una tabella NxN a una 2x2, a causa del criterio di aggregazione dei valori, si possono ottenere valori di q differenti. (osservazione di Karl Pearson)

Se per esempio i dati di partenza fossero stati:

 
 +-------------+-------+------+------+
 |     \ Abile |   Si  | boh! |  No  |
 |Sesso \      |       |      |      |
 +-------------+-------+------+------+
 |Uomini       |  20   |  10  |  70  |
 |Donne        |  90   |   0  |  80  |
 +-------------+-------+------+------+

assegnando il "boh!" ai "No" si ottiene la tabelle e il y=-0,359 di cui sopra, mentre assegnandolo ai "Si" si ottiene la tabella seguente:

 +-------------+-------+------+
 |     \ Abile |   Si  |  No  |
 |Sesso \      |       |      |
 +-------------+-------+------+
 |Uomini       |  30   |  70  |
 |Donne        |  90   |  80  |
 +-------------+-------+------+

con l'indicatore y che si "attenua" diventando y=-0,237