Circocentro

In geometria, il circocentro è il centro del cerchio circoscritto di un triangolo (detto circumcerchio), o più in generale di un poligono. Si può dimostrare che esso è il punto di incontro degli assi dei lati del triangolo.

circocentro
Codice ETC	3
Coniugato isogonale	ortocentro
Complementare	centro del cerchio dei nove punti
Anticomplementare	ortocentro
Coordinate baricentriche
λ1	sen2A
λ2	sen2B
λ3	sen2C
Coordinate trilineari
x	cosA
y	cosB
z	cosC

Proprietà

La sua posizione dipende dal tipo di triangolo:

• in un triangolo acutangolo è interno al contorno
• in un triangolo rettangolo corrisponde al punto medio dell'ipotenusa, ovvero si trova sul contorno
• in un triangolo ottusangolo è esterno al contorno.

Il circocentro è equidistante dai vertici del triangolo, ed è il centro della circonferenza circoscritta, da cui il nome del punto.

Fa parte della retta di Eulero, ed è il coniugato isogonale dell'ortocentro.

Denotiamo con $A$, $B$, $C$ i tre vertici del triangolo e con $P$ il circocentro. Denotiamo con $a$, $b$, $c$ le rette contenenti rispettivamente i segmenti $AP$, $BP$, $CP$. Denotiamo con $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$, le intersezioni di $a$, $b$, $c$ rispettivamente con le rette $BC$, $AC$, $AB$. Allora i punti $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ e i punti medi dei lati giacciono tutti sulla medesima conica. In particolare essa sarà:

• un'ellisse per i triangoli acutangoli;
• un cerchio, il cerchio inscritto, nel triangolo equilatero (in questo caso $A=A_{1}$, $B=B_{1}$ e $C=C_{1}$);
• un'iperbole per i triangoli ottusangoli;
• due rette parallele, di cui una contenente l'ipotenusa, per i triangoli rettangoli.

Voci correlate

• Circumcerchio
• Circumraggio
• Incentro
• Asse di un triangolo

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Circocentro, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Clark Kimberling, X₃, in Encyclopedia of Triangle Centers, University of Evansville, 22 ottobre 2013.