Funzione integrabile

Nel calcolo infinitesimale, una funzione integrabile o funzione sommabile rispetto ad un dato operatore integrale è una funzione il cui integrale esiste ed il suo valore è finito. I due integrali più usati sono l'integrale di Riemann e l'integrale di Lebesgue, e la definizione dipende da quale operatore integrale si utilizza. Data la maggior diffusione e generalità dell'integrale di Lebesgue rispetto agli altri, tuttavia, per funzione integrabile si intende solitamente integrabile secondo Lebesgue. Nella maggior parte dei casi i termini "integrabile" e "sommabile" sono sinonimi, ma può capitare che uno dei due sia usato per il caso più generale di funzioni il cui integrale esiste e può essere infinito.

Integrale di Lebesgue modifica

Dato uno spazio di misura $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ , una funzione semplice $s$ è una combinazione lineare finita di funzioni indicatrici di insiemi misurabili.^[1]

s:X\to \mathbb {R} ,s(x)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}{\mathbf {1} }_{A_{k}}(x)

si definisce l'integrale di Lebesgue come:

\int _{X}s(x)d\mu :=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\mu (A_{k})

Una funzione $f:X\to \mathbb {R}$ non negativa si dice integrabile secondo Lebesgue se esiste finito l'estremo superiore:^[2]

\sup _{s}\int _{X}s(x)d\mu =:\int _{X}f(x)d\mu \

dove $s$ è una arbitraria funzione semplice tale che $s\leq f$ . L'insieme delle funzioni che soddisfano tale definizione è detto insieme delle funzioni integrabili su X secondo Lebesgue rispetto alla misura $\mu$ , o anche insieme delle funzioni sommabili, ed è denotato con $L^{1}(\mu )$ .

In generale, una qualsiasi funzione si dice integrabile se lo sono le funzioni non negative:

f^{+}(x)=\left\{{\begin{matrix}f(x)&{\mbox{se}}\quad f(x)\geq 0\\0&{\mbox{altrimenti}}\end{matrix}}\right.

f^{-}(x)=\left\{{\begin{matrix}-f(x)&{\mbox{se}}\quad f(x)<0\\0&{\mbox{altrimenti}}\end{matrix}}\right.

che sono rispettivamente la parte positiva e parte negativa di $f$ .

Si definisce in tal caso:^[3]

\int _{X}f(x)d\mu :=\int _{X}f^{+}(x)d\mu -\int _{X}f^{-}(x)d\mu

Integrale di Riemann modifica

Una funzione $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ limitata si dice integrabile secondo Riemann se esiste finito il limite:

\lim _{\delta \to 0}S(f,P,\{t_{i}\})=:\int _{a}^{b}f(x)dx

dove $P=\{x_{1}...,x_{n}\}$ è una arbitraria partizione dell'intervallo $[a,b]$ con calibro minore di $\delta$ (il calibro di una partizione è la massima ampiezza tra i sottointervalli della partizione data), $t_{i}\in [x_{i-1},x_{i}]$ e:

S(f,P,\{t_{i}\})=\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})(x_{i}-x_{i-1})

Il limite deve essere inteso nel seguente modo. Per ogni $\varepsilon >0$ esiste un $\delta >0$ tale che per ogni partizione di $[a,b]$ con calibro minore di $\delta$ e per ogni scelta dei relativi punti $t_{i}$ vale: