In matematica , l'identità del triplo prodotto di Jacobi è l'identità matematica :
∑
n
=
−
∞
∞
x
n
2
y
2
n
=
∏
m
=
0
∞
(
1
−
x
2
m
)
(
1
+
x
2
m
−
1
y
2
)
(
1
+
x
2
m
−
1
y
2
)
{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{n^{2}}y^{2n}=\prod _{m=0}^{\infty }\left(1-x^{2m}\right)\left(1+x^{2m-1}y^{2}\right)\left(1+{\frac {x^{2m-1}}{y^{2}}}\right)}
Per i numeri complessi x ed y , con |x | < 1 e y ≠ 0.
L'identità è attribuita a Karl Gustav Jacob Jacobi , che la dimostrò nel 1829 nella sua opera Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum .[1]
Questa relazione permette di generalizzare altri risultati, come il teorema dei numeri pentagonali di Eulero , essendo questo un caso speciale dell'identità del triplo prodotto di Jacobi.
Infatti, ponendo
x
=
q
3
/
2
{\displaystyle x=q^{3/2}}
y
2
=
−
q
{\displaystyle y^{2}=-{\sqrt {q}}}
∑
n
=
−
∞
∞
q
3
n
2
2
(
−
1
)
n
q
n
/
2
=
∏
m
=
1
∞
(
1
−
q
3
m
)
(
1
−
q
3
m
−
1
)
(
1
−
q
3
m
−
2
)
{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{\frac {3n^{2}}{2}}(-1)^{n}q^{n/2}=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{3m}\right)\left(1-q^{3m-1}\right)\left(1-q^{3m-2}\right)}
ϕ
(
q
)
=
∏
m
=
1
∞
(
1
−
q
m
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
(
−
1
)
n
q
3
n
2
−
n
2
.
{\displaystyle \phi (q)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{m}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{\frac {3n^{2}-n}{2}}.}
funzione theta di Jacobi, normalmente scritta come serie :
ϑ
(
z
;
τ
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
exp
(
π
i
n
2
τ
+
2
π
i
n
z
)
,
{\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp(\pi in^{2}\tau +2\pi inz),}
o, appunto come
∑
n
=
−
∞
∞
y
2
n
x
n
2
,
{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }y^{2n}x^{n^{2}},}
ponendo
x
=
e
i
π
τ
{\displaystyle x=e^{i\pi \tau }}
y
=
e
i
π
z
.
{\displaystyle y=e^{i\pi z}.}
Usando l'identità del triplo prodotto di Jacobi possiamo perciò scrivere la funzione theta come il prodotto
ϑ
(
z
;
τ
)
=
∏
m
=
1
∞
(
1
−
exp
(
2
m
π
i
τ
)
)
(
1
+
exp
(
(
2
m
−
1
)
π
i
τ
+
2
π
i
z
)
)
(
1
+
exp
(
(
2
m
−
1
)
π
i
τ
−
2
π
i
z
)
)
.
{\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-\exp(2m\pi i\tau )\right)\left(1+\exp((2m-1)\pi i\tau +2\pi iz)\right)\left(1+\exp((2m-1)\pi i\tau -2\pi iz)\right).}
Esistono diversi modi di esprimere l'identità del triplo prodotto di Jacobi. Assume una forma concisa quando viene espressa in termini dei q -simboli di Pochhammer
∑
n
=
−
∞
∞
q
n
(
n
+
1
)
2
z
n
=
(
q
;
q
)
∞
(
−
1
/
z
;
q
)
∞
(
−
z
q
;
q
)
∞
,
{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{\frac {n(n+1)}{2}}z^{n}=(q;q)_{\infty }\;(-1/z;q)_{\infty }\;(-zq;q)_{\infty },}
dove
(
a
;
q
)
∞
{\displaystyle (a;q)_{\infty }}
Particolarmente elegante è invece la forma che prende quando viene espressa in termini della funzione theta di Ramanujan :
f
(
a
,
b
)
=
(
−
a
;
a
b
)
∞
(
−
b
;
a
b
)
∞
(
a
b
;
a
b
)
∞
,
{\displaystyle f(a,b)=(-a;ab)_{\infty }\;(-b;ab)_{\infty }\;(ab;ab)_{\infty },}
ove
|
a
b
|
<
1
{\displaystyle |ab|<1}
Per dimostrare l'identità del triplo prodotto di Jacobi si può ricorrere al seguente metodo. Si definisce la funzione f come:
f
(
z
)
=
∏
n
=
1
∞
(
1
+
x
2
n
−
1
z
2
)
(
1
+
x
2
n
−
1
z
2
)
{\displaystyle f\left(z\right)=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+x^{2n-1}z^{2}\right)\left(1+{\frac {x^{2n-1}}{z^{2}}}\right)}
e si osserva che sviluppando
f
(
x
z
)
{\displaystyle f(xz)}
f
(
x
z
)
f
(
z
)
=
1
+
1
x
z
2
1
+
x
z
2
=
1
x
z
2
{\displaystyle {\frac {f\left(xz\right)}{f\left(z\right)}}={\frac {1+{\frac {1}{xz^{2}}}}{1+xz^{2}}}={\frac {1}{xz^{2}}}}
e quindi
x
z
2
f
(
x
z
)
=
f
(
z
)
.
{\displaystyle xz^{2}f\left(xz\right)=f\left(z\right).}
Ora, definendo la funzione g come
g
(
z
)
=
f
(
z
)
∏
n
=
1
∞
(
1
−
x
2
n
)
{\displaystyle g\left(z\right)=f\left(z\right)\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-x^{2n}\right)}
g
(
x
z
)
=
f
(
x
z
)
∏
n
=
1
∞
(
1
−
x
2
n
)
{\displaystyle g\left(xz\right)=f\left(xz\right)\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-x^{2n}\right)}
da cui
x
z
2
g
(
x
z
)
=
g
(
z
)
{\displaystyle xz^{2}g\left(xz\right)=g\left(z\right)}
la funzione g si può sviluppare in una serie di potenze
g
(
z
)
=
∑
m
=
−
∞
∞
a
m
z
2
m
{\displaystyle g\left(z\right)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }a_{m}z^{2m}}
che deve soddisfare
∑
m
=
−
∞
∞
a
m
z
2
m
=
x
z
2
∑
m
=
−
∞
∞
a
m
(
x
z
)
2
m
=
∑
m
=
−
∞
∞
a
m
x
2
m
+
1
z
2
m
+
2
{\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }a_{m}z^{2m}=xz^{2}\sum _{m=-\infty }^{\infty }a_{m}\left(xz\right)^{2m}=\sum _{m=-\infty }^{\infty }a_{m}x^{2m+1}z^{2m+2}}
con un cambio di indice m = m - 1 si ottiene
∑
m
=
−
∞
∞
a
m
z
2
m
=
∑
m
=
−
∞
∞
a
m
−
1
x
2
m
−
1
z
2
m
{\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }a_{m}z^{2m}=\sum _{m=-\infty }^{\infty }a_{m-1}x^{2m-1}z^{2m}}
da cui
a
m
=
a
m
−
1
x
2
m
−
1
{\displaystyle a_{m}=a_{m-1}x^{2m-1}}
quindi
a
1
=
a
0
x
{\displaystyle a_{1}=a_{0}x}
a
2
=
a
1
x
3
=
a
0
x
1
+
3
=
a
0
x
4
=
a
0
x
2
2
{\displaystyle a_{2}=a_{1}x^{3}=a_{0}x^{1+3}=a_{0}x^{4}=a_{0}x^{2^{2}}}
a
3
=
a
2
x
5
=
a
0
x
5
+
4
=
a
0
x
9
=
a
0
x
3
2
{\displaystyle a_{3}=a_{2}x^{5}=a_{0}x^{5+4}=a_{0}x^{9}=a_{0}x^{3^{2}}}
....
allora
a
m
=
a
0
x
m
2
{\displaystyle a_{m}=a_{0}x^{m^{2}}}
ricordando le definizioni di f e g si ricava il triplo prodotto di Jacobi
∑
m
=
−
∞
∞
x
m
2
z
2
m
=
∏
n
=
0
∞
(
1
−
x
2
n
)
(
1
+
x
2
n
−
1
z
2
)
(
1
+
x
2
n
−
1
z
2
)
{\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }x^{m^{2}}z^{2m}=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1-x^{2n}\right)\left(1+x^{2n-1}z^{2}\right)\left(1+{\frac {x^{2n-1}}{z^{2}}}\right)}
^ Remmert, R. (1998). Classical Topics in Complex Function Theory (pp. 28-30). New York: Springer.
