Numero di Størmer
In matematica un numero di Størmer, anche detto arcocotangente irriducibile, è un intero positivo n tale che il più grande fattore primo di n2 + 1 è maggiore o uguale di 2n. Prende il nome dal matematico norvegese Carl Størmer.
Sequenza[1] modifica
I primi numeri di Størmer sono:
Densità modifica
John Todd ha dimostrato che la sequenza dei numeri di Størmer non è né finita né cofinita.[2]
Più precisamente, la densità naturale di questa sequenza è compresa tra 0.5324 e 0.905. Rimane senza dimostrazione l'ipotesi che la densità naturale sia uguale al logaritmo naturale di 2[3] e quindi, più in generale, è ancora un problema irrisolto determinare la densità di questa sequenza.
Casi particolari modifica
Un numero nella forma 2x2 per x>1 non può essere un numero di Størmer: infatti, (2x2)2+1 = 4x4+1 = (2x2-2x+1)(2x2+2x+1).
Applicazioni modifica
I numeri di Størmer sono utili quando si cerca di rappresentare i numeri di Gregory (arcotangenti di numeri razionali) come somma di numeri di Gregory per gli interi (arcotangenti di frazioni unitarie). Infatti, un numero di Gregory può essere decomposto moltiplicando ripetutamente un intero di Gauss per numeri nella forma per cancellare i fattori primi p dalla parte immaginaria; n viene scelto come numero di Størmer e tale che sia divisibile per .
Note modifica
- ^ (EN) Sequenza A005528, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
- ^ John Todd, A Problem on Arc Tangent Relations, in The American Mathematical Monthly, vol. 56, n. 8, 1949-10, p. 517, DOI:10.2307/2305526. URL consultato il 14 febbraio 2019.
- ^ Graham Everest e Glyn Harman, Number Theory and Polynomials, Cambridge University Press, 2008, pp. 142-154, DOI:10.1017/cbo9780511721274.011, ISBN 9780511721274. URL consultato il 14 febbraio 2019.
