Siano e due funzioni continue definite in un intervallo e siano . Allora:
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Dalla definizione si ha che:
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da cui:
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Dalla proprietà distributiva e dal fatto che il limite della somma coincide con la somma dei limiti si ha:
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da cui discende la proprietà di linearità.
Sia continua e definita in un intervallo e sia . Allora:
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Dalla definizione si ha che
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da cui se si ha esiste, eventualmente affinando la partizione, un intero tale che e da cui risulti:
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e dal fatto che il limite della somma coincide con la somma dei limiti si ha:
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da cui discende la proprietà di additività.
Siano e due funzioni continue definite in un intervallo e tali che in . Allora:
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Infatti se si ha che nel compatto , effettuando una partizione di tale compatto (ovviamente la disuguaglianza permane), per ogni si ottiene:
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da cui
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A questo punto, poiché la relazione è valida per qualsiasi intervallo in cui è suddiviso il compatto, vale:
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Come conseguenza del corollario del teorema della permanenza del segno dei limiti, applicando il limite alle somme integrali di Riemann (ottenendo quindi l'integrale) la disuguaglianza resta immutata
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Da ciò deriva la proprietà di monotonia degli integrali.
Sia una funzione integrabile in un intervallo , allora si ha:
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Essendo valida la relazione
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per ogni di una partizione di , è possibile moltiplicare ogni membro per il fattore
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e sommare membro a membro le varie componenti della relazione, ottenendo:
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Applicando il limite in modo da affinare gli intervalli della partizione si ottengono gli integrali:
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Quest'ultima disuguaglianza può essere espressa in termini di valore assoluto come
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la quale è proprio la proprietà del valore assoluto degli integrali.
- ^ Annamaria Squellati e Sandro Salsa, Matematica per l'economia e l'azienda, 3. ed, EGEA, 2004, ISBN 978-88-238-2055-5, OCLC 799747699. URL consultato il 14 maggio 2022.
- ^ Lorenzo Peccati, Introduzione alla matematica per economisti, in Rivista di Matematica per le Scienze Economiche e Sociali, vol. 8, n. 2, 1985-09, pp. 171–171, DOI:10.1007/bf02088774. URL consultato il 14 maggio 2022.