Teorema di Dandelin

Nella geometria, le coniche (l'ellisse, la parabola e l'iperbole) definite come sezioni piane di un cono, sono studiate inizialmente nello spazio in quanto curve “solide”. Le definizioni più usate sono comunque quelle della geometria piana.

Il legame semplice e suggestivo tra teoria piana e teoria “solida” viene stabilito nel 1822 dal matematico franco-belga Germinal Pierre Dandelin.

A tal proposito ricordiamo le sfere di Dandelin, che consentono di analizzare più nel dettaglio questo legame.

Sfere di Dandelin

Una sezione conica non degenere, figura ottenuta dalla intersezione di un piano con un cono, possiede una o due sfere di Dandelin caratterizzate dalla proprietà:

Una sfera di Dandelin tocca senza intersecare sia il piano che il cono.

Ogni sezione conica ha una sfera di Dandelin associata a ciascuno dei suoi fuochi.

• Un'ellisse possiede due sfere di Dandelin, entrambe tangenti alla stessa falda del cono.
• Una iperbole ha due sfere di Dandelin che toccano le falde opposte del cono.
• Una parabola possiede una sola sfera di Dandelin.

L'interesse per le sfere di Dandelin deriva dal fatto che è nota un'elegante dimostrazione del matematico belga Dandelin dell'equivalenza tra la definizione di conica data da Apollonio e la definizione di conica come luogo geometrico soddisfacente proprietà di carattere metrico. Non può sfuggire l'importanza della dimostrazione di questo teorema in quanto è possibile parlare delle coniche e studiarle rimanendo nel piano.

Teorema di Dandelin sull'ellisse

Costruzione geometrica dei fuochi di una conica (considerata come sezione piana di un cono rotondo indefinito).

I fuochi dell'ellisse, ottenuta intersecando un cono rotondo con un piano, sono i punti di contatto delle due sfere tangenti al piano e tangenti (internamente) alla superficie conica.

Dimostrazione: Si consideri l'illustrazione che raffigura un piano che interseca un cono in un'ellisse e mostra le due sfere di Dandelin. Sia g una qualunque generatrice del cono e siano:

• P il punto in cui g taglia l'ellisse,
• P' il punto in cui g taglia la circonferenza di contatto col cono della sfera di centro O' tangente in F' al piano,
• P" il punto in cui g taglia la circonferenza di contatto col cono della sfera di centro O" tangente in F" al piano.

Dalla costruzione, risulta evidente che il punto P è esterno alle due sfere. I due segmenti PF' e PP' sono uguali perché segmenti di tangenti condotte da un punto esterno ad una stessa sfera. Analogamente, sarà anche PF"=PP". Sommando membro a membro le due uguaglianze trovate abbiamo la relazione:

PF' $+$ PF" = P'P" = costante.

Che costituisce, appunto, la definizione dell'ellisse considerata come luogo dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi.

Analogamente si può osservare che Dandelin non solo dimostrò l'equivalenza tra la teoria solida e la teoria piana dell'ellisse, ma anche dell'iperbole e della parabola. Analizziamo il caso della dimostrazione dei fuochi dell'iperbole:

Teorema di Dandelin sull'iperbole

I fuochi dell'iperbole, ottenuta intersecando un cono rotondo con un piano, sono i punti di contatto delle due sfere tangenti al piano e tangenti (internamente) alla superficie conica.

Dimostrazione: Si consideri l'illustrazione che raffigura un piano che interseca un cono in un'iperbole e mostra le due sfere di Dandelin. Sia g una qualunque generatrice del cono e siano:

• P il punto in cui g taglia l'iperbole,
• P' il punto in cui g taglia la circonferenza di contatto col cono della sfera di centro O' tangente in F' al piano,
• P" il punto in cui g taglia la circonferenza di contatto col cono della sfera di centro O" tangente in F" al piano.

Dalla costruzione, risulta evidente che il punto P è esterno alle due sfere. I due segmenti PF' e PP' sono uguali perché segmenti di tangenti condotte da un punto esterno ad una stessa sfera. Analogamente, sarà anche PF"=PP". Sottraendo membro a membro le due uguaglianze trovate abbiamo la relazione:

PF' $-$ PF" = P'P - P''P = costante

Che costituisce, appunto, la definizione dell'iperbole considerata come luogo dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi.

Analizziamo adesso il caso della dimostrazione del fuoco della parabola:

Teorema di Dandelin sulla parabola

Il fuoco della parabola, ottenuta intersecando un cono rotondo con un piano, è il punto di contatto della sfera tangente al piano e tangente (internamente) alla superficie conica. La direttrice della parabola risulta l'intersezione del suddetto piano con quello in cui giace la circonferenza di contatto tra cono e sfera.

Dimostrazione: Si consideri l'illustrazione che raffigura un piano che interseca un cono in una parabola e mostra una sfera di Dandelin. Sia g una qualunque generatrice del cono e siano:

• V il vertice della parabola,
• A il punto di intersezione tra la direttrice parallela al piano secante e la circonferenza di contatto tra cono e sfera,
• P il punto in cui g taglia la parabola,
• P' il punto in cui g incontra la circonferenza di contatto tra il cono e la sfera,
• P" la proiezione di P sulla direttrice.

Dalla costruzione, risulta evidente che il punto P è esterno alla sfera. Quindi, per la nota proprietà delle tangenti ad una sfera condotte da un punto esterno, sarà:

PP' = PF.

Inoltre, i tre punti A, P' e P" sono allineati in quanto giacciono sull'intersezione del piano in cui giace la circonferenza di contatto tra il cono e la sfera con il piano determinato dalle due rette AV e PP" (ambedue parallele all'asse della parabola). Dalla costruzione si osserva che i due triangoli AVP' e P'PP" sono simili e dato che il primo è isoscele, anche il secondo lo sarà. Avremo, pertanto:

PP' = PP".

La proprietà transitiva, applicata alle due uguaglianze trovate, ci permette di concludere che sarà:

PF = PP"

relazione che costituisce, appunto, la definizione della parabola come luogo dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta fissa detta direttrice.

Osservazioni

In conclusione, dall'analisi delle dimostrazioni del teorema di Dandelin sull'iperbole e sulla parabola, si può osservare che:

• la dimostrazione dei fuochi dell'iperbole è analoga a quella dell'ellisse, solo che invece di sommare le uguaglianze trovate, bisogna andarle a sottrarre ottenendo così la definizione classica di iperbole;
• la dimostrazione del fuoco della parabola invece necessita di qualche osservazione in più sulla figura per ottenere la definizione classica di parabola.

Una dimostrazione unificata del teorema di Dandelin

Una definizione compatta di sezione conica (non degenere) riguarda i punti di un piano che sono in una particolare relazione con uno specifico punto detto fuoco ed una specifica retta non passante per il fuoco chiamata direttrice: si dice sezione conica definita dalla coppia (fuoco, direttrice) il luogo dei punti per i quali è costante il rapporto fra distanza dal fuoco e distanza dalla direttrice. L'equivalenza fra questa definizione e quella di intersezione di un cono circolare retto con un piano non passante per il suo vertice è data da una formulazione valida per qualunque conica del teorema di Dandelin.

Dimostrazione

Consideriamo un cono circolare retto indefinito K di vertice V e un piano di intersezione Π non passante per V; chiamiamo:

• $\Gamma$ la conica $K\cap \Pi$;
• $\alpha$ l'angolo formato da una generatrice del cono con il suo asse;
• $\beta$ l'angolo acuto che il piano d'intersezione forma con l'asse del cono.

Consideriamo S una delle due sfere di Dandelin tangenti al cono e a Π o l'unica sfera di Dandelin nel caso che sia $\alpha =\beta$. Chiamiamo F il punto in cui la sfera è tangente al piano di intersezione, C la circonferenza $K\cap S$ e d la retta intersezione di Π e il piano contenente C.

Facciamo riferimento alla figura seguente che, nella fattispecie, riguarda il caso di un'ellisse. Per una maggior chiarezza, abbiamo evitato di visualizzare la seconda sfera di Dandelin e del cono abbiamo tracciate solo alcune generatrici.

Ci proponiamo di mostrare che F rappresenta un (il) fuoco della conica Γ e che la retta d è la sua direttrice. Più specificamente dimostriamo che vale la seguente proprietà:

${\frac {PF}{PD}}=e$.

dove P è un qualsiasi punto della conica, PD denota la perpendicolare alla retta d passante per il punto P e la sua lunghezza, cioè la distanza del punto P dalla retta d, ed e è una costante (che rappresenta l'eccentricità), così che, per definizione, l'insieme dei punti P costituisce una sezione conica. La dimostrazione che vediamo ora vale per tutti e tre i tipi di coniche.

Siano:

• Q il punto di intersezione fra la retta passante per P e parallela all'asse del cono con il piano di C;
• A il punto di intersezione fra la generatrice passante per P e la circonferenza C.

PA e PF rappresentano perciò due segmenti tangenti alla sfera, condotti dallo stesso punto P, e quindi hanno la stessa lunghezza:

$PA~=~PF$.

Nel triangolo rettangolo PQA abbiamo:

$PQ~=~PA\cos \alpha$

mentre nel triangolo rettangolo PQD,

$PQ~=~PD\cos \beta$.

Combinando le precedenti tre equazioni e semplificando, otteniamo:

$PA\cos \alpha ~=~PD\cos \beta$

$PF\cos \alpha ~=~PD\cos \beta$

e perciò

${\frac {PF}{PD}}={\frac {\cos \beta }{\cos \alpha }}=:e$.

Questa coincide proprio con la definizione di conica come luogo di punti di un piano per cui il rapporto tra la distanza di un suo generico punto dal fuoco e dalla direttrice è costante e coincide con la sua eccentricità.

Voci correlate

• Sfere di Dandelin

Collegamenti esterni

• https://web.archive.org/web/20050222184120/http://www.museo.unimo.it/labmat/dande.htm,
• https://web.archive.org/web/20050426001216/http://museo.unimo.it/theatrum/macchine/014bib.htm,