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Numero decagonale centrato modifica

 
Rappresentazione dei primi numeri decagonali centrati (1 escluso).

In teoria dei numeri, un numero decagonale centrato è un numero poligonale centrato che rappresenta un decagono con un punto al centro e gli altri punti che lo circondano. La formula per l'n-esimo numero decagonale centrato è:

 .

I primi numeri decagonali centrati sono: 1, 11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 361, 451, 551, 661, 781, 911, 1051, 1201, 1361, 1531[1].

Proprietà matematiche modifica

L'n-esimo numero decagonale centrato può essere visto come la somma di dieci volte l'(n-1)-esimo numero triangolare e di un punto centrale. Per questo, in base 10, tutti i numeri decagonali centrati terminano con 1, e si possono ottenere aggiungendo un 1 alla fine di un numero triangolare. Conoscendo l'n-esimo numero decagonale centrato, si può ricavare il successivo aggiungendo 10n.
Alcuni numeri decagonali centrati sono anche numeri decagonali. I primi sono: 1, 10, 171, 3060, 54901, 985150, 17677791, 317215080[2].
Diversi numeri decagonali centrati sono anche numeri primi. I primi primi decagonali centrati sono: 11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 661, 911, 1051, 1201, 1361, 1531, 1901, 2311, 2531, 3001, 3251, 3511, 4651, 5281, 6301, 6661[3]. Tra questi, in base 10 non sono rari i primi palindromi: 11, 101, 151, 1598951, 1128512158211, 104216919612401[4]...

Costante di Prouhet–Thue–Morse modifica

{{Costante |simbolo = <math>\tau</math> |valore = 0,4124540366401 |oeisvalore = A014571 |nome = [[Eugène Prouhet]] [[Axel Thue]] [[Marston Morse]] |fcont = 0, 2, 2, 2, 1, 4, 3, 5 |oeisfcont = A014572 |insieme = trascendenti }}

In matematica, la costante di Prouhet–Thue–Morse, indicata con  , è il numero compreso tra 0 e 1 la cui parte decimale, espressa in base 2, corrisponde alla successione di Thue-Morse. L'espressione in codice binario di   è quindi:

 

Corrispondente, in base 10, a

 

  è un numero irrazionale e trascendente[5]. La costante prende il nome dai matematici Eugène Prouhet, Axel Thue e Marson Morse.

Successione di Ulam modifica

In teoria dei numeri, una successione di Ulam è una sequenza di numeri interi tale che ogni suo membro sia espribibile come somma di due precedenti membri in uno ed un solo modo. Una successione di Ulam è indicata con i suoi primi due termini: la successione di Ulam (a, b) è la successione di Ulam che ha a come primo membro e b come secondo membro, con a < b. Se non diversamente specificato, si intende per successione di Ulam la successione di Ulam (1, 2). I numeri appartenenti a tale successione sono chiamati numeri di Ulam.

La successione prende il nome dal suo scopritore, il matematico Stanislaw Ulam, che la studiò inizialmente per cercare un analogo unidimensionale degli automi cellulari[6][7].

Successione di Ulam (1, 2) modifica

La successione di Ulam (1, 2) inizia con U1=&1 e U2=2. I successivi termini devono essere in un solo modo la somma di termini precedenti. Per esempio, 3 è un membro di questa successione di Ulam, visto che è la somma di 1 e 2. 4 è anch'esso un termine, dato che 4=1+3 (2+2 non conta, perché gli addendi devono essere distinti). 5 invece non lo è, dato che vi sono due modi per scriverlo come somma di due precedenti termini della successione (5=2+3=1+4).
I primi termini della successione di Ulam (1, 2), ovvero i primi numeri di Ulam, sono: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 13, 16, 18, 26, 28, 36, 38, 47, 48, 53, 57, 62, 69, 72, 77, 82, 87, 97, 99, 102, 106, 114[8].
I primi numeri di Ulam ad essere anche numeri primi sono: 2, 3, 11, 13, 47, 53, 97, 131, 197, 241, 409, 431, 607, 673, 739, 751, 983, 991, 1103, 1433, 1489, 1531, 1553[9].
L'unica coppia di numeri di Ulam consecutivi conosciuta è (47; 48). Non esistono triplette di numeri di Ulam consecutivi a parte (1; 2; 3). Almeno fino ai valori esplorati, l'n-esimo numero di Ulam è dato approssimativamente da n·13,73. Inoltre, circa il 60% dei numeri di Ulam conosciuti differisce di 2 da un altro numero di Ulam. Ulam congetturò che l'insieme dei numeri di Ulam avesse densità asintotica 0, ma in realtà i numeri di Ulam sembrano avere una densità di circa 0,07396.

Altre successioni di Ulam modifica

Primi termini di alcune successioni di Ulam
  Successione di Ulam  
(1, 2) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 13, 16, 18, ... [10]
(1, 3) 1, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 17, 21, ... [11]
(1, 4) 1, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 16, 18, 19, ... [12]
(1, 5) 1, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 20, 22, ... [13]
(2, 3) 2, 3, 5, 7, 8, 9, 13, 14, 18, 19, ... [14]
(2, 4) 2, 4, 6, 8, 12, 16, 22, 26, 32, 36, ... [15]
(2, 5) 2, 5, 7, 9, 11, 12, 13, 15, 19, 23, ... [16]

Proprietà generali modifica

Ogni successione di Ulam ha infiniti termini. Infatti, se ci fossero solo n termini in una successione di Ulam, Un-1+Un sarebbe necessariamente un altro membro della successione, contraddicendo l'ipotesi. Una successione di Ulam è detta regolare se le differenze tra i suoi termini successivi diventano prima o poi periodiche. Tutte le successioni di Ulam aventi solo un numero finito di numeri pari sono regolari[17][18][19][20]. In particolare, tutte le successioni di Ulam (2, b) con b dispari e maggiore di 3 sono regolari[21][19][22] - e hanno esattamente due termini pari[22]; anche le successioni di Ulam (4, b) con b > 5 e congruo ad 1 modulo 4 (cioè esprimibile nella forma 4k+1) sono tutte regolari[23], e hanno esattamente tre membri pari[23]. Allo stato attuale delle conoscenze, non sembra invece che la successione di Ulam (1, 2) sia regolare.

Generalizzazioni modifica

Le successioni di Ulam si possono generalizzare nelle successioni s-additive, in cui dopo i primi 2s termini ogni membro delle successione deve potere essere espresso come somma di due precedenti termini in esattamente s modi. Le normali successioni di Ulam sono successioni 1-additive[21]. È stato congettuato che tutte le sequenze 0-additive (quelle cioè in cui ogni successiovo termine non può essere espresso in nessun modo come somma di due termini precedenti) finiscano con l'essere regolari[18][24].
Un'ulteriore generalizzazione è data dalle successioni (s, t)-additive, in cui dopo i primi ts numeri ogni termine deve poter essere espresso come somma di t precedenti termini in esattemente s modi.

Successioni di Stohr modifica

Le successioni (0, t) additive che iniziano con 1 sono anche chiamate successioni di Stöhr: l' -successione di Stöhr è la successione (0,  )-additiva che inizia con 1. Per definizione, ogni termine dell' -successione di Stöhr è il primo numero a non poter essere espresso come somma di   precedenti numeri della successione.

Primi termini di alcune successioni di Stöhr
   -successione di Stöhr
2 1, 2, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ... [25]
3 1, 2, 4, 8, 15, 22, 29, 36, 43, 50, ... [26]
4 1, 2, 4, 8, 16, 31, 46, 61, 76, 91, ...[27]
5 1, 2, 4, 8, 16, 32, 63, 94, 125, 156, ... [28]

I primi   termini dell' -successione di Stöhr sono le potenze di due da 0 ad  . I termini successivi sono dati da  [29].

Successioni generalizzate di Fibonacci modifica

Se si modifica la definizione della successione di Ulam prendendo come termine successivo il più grande numero che sia la somma di due precedenti termini in uno e in un solo modo, anziché il più piccolo, si ottiene la successione di Fibonacci[19]. In generale, cambiando in questo modo la definizione della successione di Ulam (a, b) si ottiene la successione generalizzata di Fibonacci (a, b, -1, 1).

Voci correlate modifica

Collegamenti esterni modifica

Note modifica

  1. ^ (EN) Sequenza A062786, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  2. ^ (EN) Sequenza A133273, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  3. ^ (EN) Sequenza A090562, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  4. ^ (EN) Sequenza A134462, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  5. ^ vol. 101, JFM 55.0115.01.
  6. ^ (EN) Ulam, Stanislaw, Combinatorial analysis in infinite sets and some physical theories, in SIAM Review, vol. 6, n. 4, 1964, pp. 343–355.
  7. ^ (EN) Ulam, Stanislaw, Problems in Modern Mathematics, Wiley-Interscience, 1964, XI.
  8. ^ (EN) Sequenza A002858, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  9. ^ (EN) Sequenza A068820, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  10. ^ (EN) Sequenza A002858, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  11. ^ (EN) Sequenza A002859, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  12. ^ (EN) Sequenza A003666, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  13. ^ (EN) Sequenza A003667, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  14. ^ (EN) Sequenza A001857, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  15. ^ (EN) Sequenza A048951, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  16. ^ (EN) Sequenza A007300, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  17. ^ (EN) Steven R. Finch, Conjectures About 1-Additive Sequences, in Fibonacci Quaterly, vol. 29, 1991, pp. 209-214.
  18. ^ a b (EN) Steven R. Finch, Are 0-Additive Sequences Always Regular?, in American Mathematical Monthly, vol. 99, 1992, pp. 671-673.
  19. ^ a b c (EN) Steven R. Finch, On the Regularity of Certain 1-Additive Sequences, in Journal of Combinatorial Theory, Series A, vol. 60, 1992, pp. 123-130.
  20. ^ (EN) Steven R. Finch, Patterns in 1-Additive Sequences, in Experimental Mathematics, vol. 1, n. 1, 1992, pp. 57-63.
  21. ^ a b (FR) Raymond Queneau, Sur les suites s-additives, in Journal of Combinatorial Theory, Series A, vol. 12, n. 1, 1972, pp. 31–71..
  22. ^ a b (EN) Schmerl, James; Spiegel, Eugene, The regularity of some 1-additive sequences, in Journal of Combinatorial Theory, Series A, vol. 66, n. 1, 1994, pp. 172-175.
  23. ^ a b Cassaigne, Julien; Finch, Steven R., A class of 1-additive sequences and quadratic recurrences, in Experimental Mathematics, vol. 4, n. 1, 1995, pp. 49-60.
  24. ^ (EN) Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory, 2ª ed., New York, Springer-Verlag, 1994, pp. 110 e 233, ISBN 0-387-94289-0.
  25. ^ (EN) Sequenza A033627, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  26. ^ (EN) Sequenza A026474, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  27. ^ (EN) Sequenza A051039, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  28. ^ (EN) Sequenza A051040, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  29. ^ (EN) Sequenza A193911, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.


Note modifica


In teoria dei numeri, il problema di Prouhet–Tarry–Escott è un problema matematico che chiede di trovare due insiemi

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