Bozza:Argomento (analisi complessa)
In analisi complessa, un argomento è un concetto che si riferisce alla fase o all'angolo di un numero complesso nel piano complesso. Un numero complesso z può essere rappresentato nella forma cartesiana z=x+iy, dove x e y sono numeri reali e i è l'unità immaginaria con i2=−1.
Tuttavia, è spesso utile rappresentare un numero complesso in forma polare come z=r(cosθ+isinθ) o z=reiθ, dove r è il modulo di z e θ è l'argomento di z. Il modulo r è la distanza dal numero complesso all'origine del piano complesso e si calcola come:
r=∣z∣=x2+y2
L'argomento θ (anche chiamato fase o angolo) è l'angolo che il segmento che congiunge l'origine al numero complesso forma con l'asse reale positivo, misurato in radianti. Si può calcolare come:
θ=arg(z)=arctan(xy)
Tuttavia, questo è vero solo se x>0. In generale, l'argomento deve tener conto del quadrante in cui si trova il numero complesso:
- Se x>0, allora θ=arctan(xy)
- Se x<0 e y≥0, allora θ=arctan(xy)+π
- Se x<0 e y<0, allora θ=arctan(xy)−π
- Se x=0 e y>0, allora θ=2π
- Se x=0 e y<0, allora θ=−2π
L'argomento di un numero complesso non è unico: può essere modificato aggiungendo qualsiasi multiplo intero di 2π (cioè, θ+2kπ, dove k è un intero). Il valore principale dell'argomento (detto "principal value") è solitamente preso nell'intervallo −π<θ≤π.
In sintesi, l'argomento di un numero complesso è una misura angolare che indica la direzione del numero complesso nel piano complesso rispetto all'asse reale positivo.