Carica di un condensatore

La carica di un condensatore in un circuito elettrico è il processo mediante il quale le cariche si accumulano sulle armature di questo componente in seguito all'applicazione di una differenza di potenziale. La corrente elettrica e le leggi di Kirchhoff valgono esattamente solo quando le condizioni sono stazionarie, cioè quando le grandezze in gioco non dipendono dal tempo. Necessariamente però queste condizioni sono ideali: fortunatamente le leggi che ci interessano valgono anche per quelle condizioni che vengono dette quasi-stazionarie, cioè che variano così lentamente nel tempo che le leggi continuano a valere. Uno di questi casi notevoli è la carica e la scarica di un condensatore.

Circuito per la carica di un condensatore
Andamenti del potenziale e della corrente in funzione del tempo di carica del condensatore

La legge di carica del condensatore modifica

Si consideri un circuito come quello in figura con il generatore di forza elettromotrice f che mantiene ai suoi capi una tensione  , interruttore T inizialmente aperto, e condensatore inizialmente scarico. Non vi è carica sul condensatore e quindi è nulla la differenza di potenziale ai capi di C e tale rimane finché l'interruttore rimane aperto. Al tempo  , le condizioni iniziali sono:   e  ; chiudiamo l'interruttore T. Nell'intervallo di tempo infinitesimo dt, la carica dQ va dal generatore al condensatore, cioè si genera corrente:

 

Per la legge di Ohm ai capi della resistenza R si ha una differenza di potenziale:

 

dove   è la forza elettromotrice o tensione fornita dal generatore. Vediamo come variano nel tempo le grandezze in gioco. Innanzitutto possiamo trovare l'andamento della carica del condensatore, ricavando  , riscriviamo la legge di Ohm:

 

Dobbiamo integrare quest'ultima equazione e per farlo dobbiamo effettuare un cambiamento di variabile,   così che  :

 

Risolviamo rispetto a x(t) e ritorniamo alla nostra funzione  :

 

otteniamo l'equazione della carica di un condensatore:

 

dove   è un valore costante detta costante di tempo del circuito.

Ricaviamo di conseguenza l'equazione del potenziale in funzione del tempo:

 

Ricaviamo di conseguenza l'equazione della corrente in funzione del tempo:

 

Come si vede dalla figura sui grafici del potenziale e della corrente, gli andamenti sono esponenziali crescenti per la carica (identico a quello del potenziale) e il potenziale. Ciò sta a significare che il condensatore non si carica istantaneamente e completamente, ma si carica in un tempo teoricamente infinito, anche se in effetti l'andamento ci fa vedere come la carica si sviluppi in pochi costanti di tempo   e per il resto diventa trascurabile. Dall'equazione della corrente all'inverso si vede come decresce esponenzialmente a zero e cioè all'inizio il condensatore si comporta come un corto circuito e al tempo infinito come un circuito aperto. Questa caratteristica si può evidenziare anche a partire dall'impedenza stessa del condensatore applicando il teorema del valor iniziale e del valor finale.

Se, una volta caricato il condensatore e passivizzato il generatore (sostituendolo con un corto circuito), chiudiamo l'interruttore si assiste invece al processo inverso di scarica del condensatore.

In regime di tensione/corrente alternata (AC) il condensatore si carica e si scarica continuamente assecondando le variazioni di tensione/corrente ai suoi capi ovvero con la stessa frequenza di oscillazione dell'eccitazione introducendo però uno sfasamento di 90° della risposta del circuito rispetto all'eccitazione iniziale.

Bilancio energetico modifica

L'energia potenziale accumulata dal condensatore è:

 

per   si ha:

 

mentre l'energia dissipata per effetto Joule è:

 

e per   si ha inoltre:

 

Questo significa che l'energia fornita dal generatore in ogni istante è:

 

per  , l'energia totale fornita dal generatore è la somma delle energie accumulata dal condensatore e dissipata per l'effetto Joule:

 

Voci correlate modifica

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