Discussione:Integrale di Eulero

L'originale era questo, spero di averlo trascritto correttamente.

_-∞∫^+∞ e^-u²/2 du = √ π/2

Sbisolo 16:40, Gen 31, 2004 (UTC)

Non vorrei dire scemenze, ma credo che fosse sbagliato anche prima e che l'espressione corretta sia

$\int _{-\infty }^{+\infty }e^{\frac {-u^{2}}{2}}du={\sqrt {2\pi }}$

Qui sotto riporto la dimostrazione, se qualcuno gli dà una riguardata magari si potrebbe metterla nell'articolo. Sempre che non contenga errori. Bisognerebbe integrarla anche con un po' di delucidazioni. Ciao. Svante 19:46, Gen 31, 2004 (UTC)

Dimostrazione

Poniamo

$I=\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}dx$

usando un'altra coordinata

$I=\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-y^{2}}dy$

Moltiplicando le due espressioni si ottiene

$I^{2}=\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}dx\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-y^{2}}dy$

$I^{2}=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}e^{-y^{2}}dxdy$

$I^{2}=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}dxdy$

Se ora consideriamo x e y come coordinate cartesiane vediamo che l'integrale si estende su tutto il piano. É conveniente allora fare una trasformazione di coordinate e passare a quelle polari r e θ

$r^{2}=x^{2}+y^{2}$

$x=r\cos \theta$

$y=r\sin \theta$

con r che va da 0 a ∞ e θ da 0 a 2π

L'integrale allora diventa

$I^{2}=\int _{0}^{+\infty }\int _{0}^{2\pi }e^{-r^{2}}rdrd\theta =2\pi \int _{0}^{+\infty }e^{-r^{2}}rdr$

$I^{2}=2\pi \int _{0}^{+\infty }e^{-r^{2}}rdr=2\pi \int _{0}^{+\infty }\left(-{\frac {1}{2}}\right)d(e^{-r^{2}})=-\pi \left[e^{-r^{2}}\right]_{0}^{+\infty }=-\pi (0-1)=\pi$

$I={\sqrt {\pi }}$

Quindi

$\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}$

se ora poniamo $x={\frac {u}{\sqrt {2}}}$, si avrà

$x^{2}={\frac {u^{2}}{2}}$ e $dx={\frac {du}{\sqrt {2}}}$

L'integrale diventa quindi

${\frac {1}{\sqrt {2}}}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{\frac {-u^{2}}{2}}du={\sqrt {\pi }}$

$\int _{-\infty }^{+\infty }e^{\frac {-u^{2}}{2}}du={\sqrt {2\pi }}$