Discussione:Teorema di Noether

La dimostrazione è come me la ricordo io, ma non mi soddfisfa molto... Chi può, agisca.

BW 06:30, Ago 11, 2004 (UTC)

BW, mi sembra che in questa pagina ci sia una dimostrazione più rigorosa anche se te la segnalo solamente, dato che il mio amore per la matematica risente dell'attuale scarsa pratica quotidiana..se non serve niente, altrimenti cambia tu (io meglio che non tocchi niente ;) ) Ciao e grazie, Matteo 07:27, Ago 11, 2004 (UTC)

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Apro i miei appunti di "meccanica razionale" e leggo:
Definizione: si dice ammissibile una trasformazione invertibile di coordinate ${\vec {q}}={\vec {f}}({\vec {Q}})$ per un dato sistema se e soltanto se la lagrangiana L del sistema è invariante per la trasformazione ovvero se: $L({\vec {q}},{\vec {\dot {q}}})=L({\vec {Q}},{\vec {\dot {Q}}})$.
Teorema di Noether: Se un sistema lagrangiano ammette un gruppo di trasformazioni ad un parametro ${\vec {q}}={\vec {f}}({\vec {Q}},s)$ allora le eq. di Lagrange del sistema hanno un integrale primo dato da $I({\vec {q}},{\vec {\dot {q}}})=\sum _{i=1}^{l}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\frac {\partial f_{i}}{\partial s}}({\vec {q}},0)$.
Dimostrazione: se ${\vec {q}}(t)$ è una soluzione delle equazioni di Lagrange allora anche ${\vec {F}}(t,s)={\vec {f}}({\vec {q}}(t),s)$ lo è. Ma per l'invarianza di L posso scrivere
${\frac {\partial }{\partial s}}L({\vec {F}},{\vec {\dot {F}}})|_{s=0}=\sum _{i=1}^{l}({\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}({\vec {F}},{\vec {\dot {F}}}){\frac {\partial F_{i}}{\partial s}}(t,0)+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}({\vec {F}},{\vec {\dot {F}}}){\frac {\partial F_{i}}{\partial t}}(t,0))=0$
Ma per ogni i da 1 a l
${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}({\vec {F}},{\dot {\vec {F}}})-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}({\vec {F}},{\dot {\vec {F}}})=0$
Mettendo a sistema queste due equazioni e sfruttando il fatto che: ${\vec {F}}(t,0)={\vec {q}}(t)$, ${\dot {\vec {F}}}(t,0)={\dot {\vec {q}}}(t)$ e ${\frac {\partial {\vec {F}}}{\partial s}}={\frac {\partial {\vec {f}}}{\partial s}}$ si ottiene
${\frac {d}{dt}}(\sum _{i=1}^{l}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\frac {\partial F_{i}}{\partial s}}(t,0))={\frac {d}{dt}}I({\vec {q}},{\dot {\vec {q}}})=0$
ovvero I è un'invariante del moto.

Spero di non aver insrito troppi errori :-) Ditemi cosa ne pensate.--Berto 08:04, Ago 11, 2004 (UTC)

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Come mai il teorema di Noether è segnalato come pagina di fisica mentre mi sembrarebbe appartenere alla matematica?--Berto 08:08, Ago 11, 2004 (UTC)

Perchè, pur essendo matematicamente dimostrabile, parla di proprietà dei sistemi fisici (corrente, invarianza, leggi di conservazione), come il teorema di Gauss. O almeno così la vedo io, poi fate vobis. BW 10:36, Ago 11, 2004 (UTC)

Anche io l'ho sempre collegato alla Fisica, perchè spesso lo si introduce lì. Però effettivamente credo che Berto abbia ragione, va spostato in matematica: il fatto che abbia palesi e importanti ricadute in alcune equazioni (direi importanti) della fisica, forse non basta. Matteo (scrivimi) 10:58, Ago 11, 2004 (UTC)

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Credo che nell'esempio si debba assumere (ed esplicitare) che la lagrangiana sia invariante rispetto alla trasformazione x->f, altrimenti non sarebbe possibile applicare il teorema.
Inoltre il fatto che:
d(f_1)/ds = 1 e d(f_2)/ds = 0
non dipende dal teorema (quindi cancellerei "secondo il teorema" prima di questa affermazione).
Ttt (msg)

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