Equazioni di London

Le equazioni di London sono le più semplici relazioni costitutive per descrivere la superconduttività. Il maggiore risultato di tali equazioni è quello di riuscire a descrivere l'effetto Meissner-Ochsenfeld, che non è spiegabile semplicemente con le equazioni di Maxwell. Sono state sviluppate nel 1935 dai due fratelli Fritz e Heinz London.

Formulazione

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Una possibile formulazione delle equazioni di London è:

 

nelle quali   è la permeabilità magnetica del vuoto, mentre   è detta lunghezza di penetrazione di London, che ha le dimensioni di una lunghezza. Tale parametro è definito come

 

con   pari alla carica elettrica elementare,   pari alla massa dell'elettrone mentre   è un parametro fenomenologico detto densità volumica di superportatori.

La prima equazione

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La prima equazione di London descrive la prima delle due caratteristiche di un superconduttore, cioè l'assenza di resistenza DC. Per ricavare tale equazione, è sufficiente considerare il modello di Drude per la conducibilità elettrica nei metalli.

Derivazione dell'equazione

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Il modello di Drude per le correnti DC propone la seguente equazione che descrive il movimento degli elettroni:

 

dove   è pari alla carica elettrica elementare,   è pari alla massa dell'elettrone e   viene detto tempo di rilassamento, e rappresenta il tempo medio che separa due collisioni distinte di un elettrone all'interno del reticolo di ioni del metallo.

Essendo la conducibilità elettrica   direttamente proporzionale a  , si può immaginare che in un materiale in cui non c'è resistenza il tempo di rilassamento sia molto grande, tendente all'infinito. Se  , l'equazione di Drude si semplifica in

 

Immaginando che solo una densità volumica   degli elettroni del materiale sia superconduttiva, e ricordando la definizione di  , si ottiene:

 

che è proprio la prima equazione di London.

La seconda equazione

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La seconda equazione fu introdotta dai fratelli London per ovviare alle limitazioni imposte dalla prima equazione in termini di diamagnetismo perfetto.

Insufficienza della prima equazione

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La prima equazione modella bene l'assenza di resistenza ma non può descrivere l'effetto Meissner-Ochsenfeld. Difatti, applicando le equazioni di Maxwell ad essa si ottiene:

 

Integrando tale relazione nel tempo in un intervallo   si ricava:

 

con   campo magnetico all'istante  . Tale equazione ammette una soluzione particolare  , cioè un campo costante, che è incompatibile con l'effetto Meissner-Ochsenfeld, in quanto esso prevede un diamagnetismo perfetto, quindi assenza totale di campi magnetici.

Descrizione del diamagnetismo perfetto

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Venne quindi proposta l'equazione:

 

Tale equazione descrive perfettamente l'effetto Meissner-Ochsenfeld. Difatti, applicando la legge di Ampere   al primo membro, e ricordando   si ricava:

 

Considerando la soluzione particolare in una dimensione   (con   sulla superficie del conduttore e   all'interno del materiale):

 

si vede come il campo magnetico si riduca esponenzialmente con la distanza dalla superficie, modellando un diamagnetismo perfetto. Si capisce così anche il significato fisico di  , che è la distanza dalla superficie del conduttore in cui il campo si è ridotto di un fattore  .

Riscrittura della seconda equazione

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La seconda equazione di London può essere scritta anche in un'altra forma, ricordando la definizione di potenziale vettore:

 

Sostituendo nella seconda equazione di London si ricava:

 

in cui si nota una diretta proporzionalità tra la densità di corrente e il potenziale vettore magnetico.

Bibliografia

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  • Charles Kittel, Introduzione alla Fisica dello Stato Solido, Boringhieri, 1982;
  • Michael Tinkham, Introduction to Superconductivity, McGraw-Hill, 1996.

Voci correlate

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