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Il momento angolare totale in meccanica quantistica genera le rotazioni nello spazio. Esso ha un significato più esteso rispetto al momento angolare orbitale perché si generalizza anche al momento angolare di spin e soprattutto è usato nella composizione di momenti angolari, essendo valido come somma di più momenti angolari e di diversi tipi.

Si può dimostrare che il momento angolare totale è il generatore delle rotazioni nello spazio, ma questo argomento è proposto per il momento angolare orbitale a cui si rimanda.

Formalmente, poi, il momento angolare totale ha le stesse regole del momento angolare orbitale e dello spin, per cui con possiamo indicare sia , sia e anche una composizione di momenti oppure o ancora .

Indice

Le proprietà del momento angolare totaleModifica

Il momento angolare totale, analogamente al momento angolare orbitale, genera le rotazioni lungo un asse: la funzione d'onda   ruotata di un angolo   attorno all'asse z, diventa:

 

Per una rotazione infinitesima:

 

Proprietà di commutazioneModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Commutatore (matematica).

Vediamo le proprietà di commutazione analogamente a quanto fatto per l'operatore momento angolare orbitale:

 
 
 

dove   sono ovviamente le proiezioni del momento angolare totale lungo gli assi cartesiani, in forma compatta:

 

dove abbiamo usato il tensore di Levi-Civita. Costruiamo l'operatore  , cioè l'operatore:

 

Vediamo come commuta con le componenti del momento angolare totale:

 

e analogamente:

 
 

cioè le componenti del momento angolare commutano con l'operatore  .

Vediamo come si comportano i momenti angolari con gli operatori di posizione e impulso trascurando i calcoli espliciti che sono simili a quelli del momento angolare orbitale:

 
 
 

Allo stesso modo   ed  , in generale si ha che la componente del momento angolare su un asse commuta soltanto con la coordinata di quell'asse, in forma compatta:

 

dove   e   è il tensore di Levi-Civita, che è uguale a +1 per permutazioni pari degli indici, -1 per permutazioni dispari e 0 se i=j.

Per quanto riguarda le commutazioni con gli impulsi vale esattamente la stessa cosa:

 

Spettro del momento angolare totaleModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Spettro (matematica).

Abbiamo visto che le componenti del momento angolare non commutano tra loro, ma tutti singolarmente commutano con l'operatore momento angolare al quadrato. Possiamo scegliere una sola componente (per esempio  ) che commuta con  , così lo stato che è autostato di entrambi gli operatori lo chiamiamo  . Dobbiamo trovare quali sono gli autovalori   (a volte più propriamente indicati con  ,  , oppure con  ,  ) simultanei di questi operatori:

 

Per fare questo introduciamo due operatori, detti operatori di scala:

 

che sono uno il complesso coniugato dell'altro e non sono hermitiani. Questi operatori hanno le proprietà:

 
 
 

L'operatore   può essere espresso in termini di   e operatori di scala  , infatti:

 
 

dunque:

 

Il significato di   è analogo a quello visto nel momento angolare orbitale. Vediamo come   agisce sullo stato  :

 

cioè applicando   l'autovalore di   cioè b aumenta di  , viceversa applicando  , l'autovalore di   viene diminuito di  , da cui il nome di operatori di scala. Invece applicando  :

 

cioè l'applicazione degli operatori   cambia l'autovalore di  , ma non di  .

Per ovvi motivi di proiezione, la relazione che lega   e   è:

 

ciò implica che gli autovalori di questi operatori devono soddisfare:

 

cioè gli autovalori della proiezione del momento angolare totale b non possono superare quelli di  , a. Quindi l'autovalore di   è limitato inferiormente e superiormente dai valori che può prendere  . Chiamiamo   il valore minimo e   il valore massimo che può assumere  . Applicando successivamente gli operatori di scala  , si capisce che deve essere:

 
 

Ora applichiamo

 

cioè:

 

Quindi l'autovalore di   è  volte  . Ora per quanto detto:

 

Data la simmetria di cui  deve godere rispetto al piano  , si ha che b deve essere necessariamente o intero o semintero. Vi sono pertanto  valori di b, cioè  .

Si ottiene quindi infine per gli autovalori di  

 

e per gli autovalori di  

 

dove   è il numero quantico del momento angolare totale, che ricordiamo può essere intero o semintero, ed   è il numero quantico della proiezione del momento angolare totale.

Elementi di matriceModifica

Vediamo come sono fatti esplicitamente le matrici dei momenti angolari. Assumiamo che i momenti angolari siano calcolati sugli autostati   già normalizzati, allora in questa base di autostati sia   sia   sono diagonali:

 
 

Gli elementi di matrice degli operatori a scala sono dati da:

 

dove   è un coefficiente. Utilizzando l'espressione:

 

ricaviamo l'espressione di   e di   e calcoliamo:

 
 

e quindi per  :

 

In definitiva:

 
 

gli elementi di matrice sono:

 

Per esempio per   possiamo esplicitare:

 
 
 

che come si vede   è diagonale ovviamente nella base  , mentre:

 
 

non lo sono.

Per   le matrici prendono la forma delle matrici di Pauli a due componenti:

 
 
 

Per   le matrici prendono la forma:

 
 
 

BibliografiaModifica

  • J.J Sakurai - Meccanica quantistica moderna
  • L.D. Landau, E.M. Lifŝits - Meccanica quantistica, teoria non relativistica

Voci correlateModifica

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