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Riga 4: In [[matematica]], un '''integrale di linea''' o ''integrale curvilineo'' è un [[integrale]] in cui la [[funzione (matematica)\|funzione]] da integrare è valutata lungo un cammino o una [[Curva (matematica)\|curva]]. Sono usati vari differenti integrali di linea. Nel caso di percorsi chiusi l'integrale di linea è anche chiamato '''integrale di contorno'''. La funzione da integrare può essere un [[campo scalare]] o un [[campo vettoriale]]. Il valore dell'integrale di linea è la somma dei valori del campo in tutti i punti della curva, pesata da una funzione scalare definita sulla curva (tipicamente la [[lunghezza di un arco]] o, nel campo vettoriale, il [[prodotto scalare]] del campo scalare con il vettore [[Differenziale_(matematica)\|differenziale]] nella curva). Questa "pesatura" distingue l'integrale di linea dai più semplici integrali definiti su [[intervallo (matematica)\|intervalli]]. Molte semplici formule in fisica (per [[lavoro (fisica)\|esempio]], <math>W=\vec F\cdot\vec ds</math>) hanno analoghi nel continuo formulati in termini di integrali di linea (<math>W=\int_C \vec F\cdot \operatorname d\vec s</math>). L'integrale di linea definisce ad esempio anche il lavoro compiuto su un oggetto spostato attraverso un campo, elettrico o gravitazionale, lungo una traiettoria. [[File:Line-Integral.gif\|right]] Riga 17: Dato un [[campo scalare]] <math> f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math>, si definisce l'integrale di linea su una curva ''C'', parametrizzata da '''''r'''''(''t'') con ''t'' ∈ [a, b], come :<math>\int_C f\ \operatorname ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t)) \\|\mathbf{r}'(t)\\| dt\,\mathrm{d}t</math> , dove il termine <math>ds\mathrm{d}s</math> indica che l'integrale è effettuato su un'[[ascissa curvilinea]]; se il dominio della funzione ''f'' è <math>\mathbb{R}</math>, l'integrale curvilineo si riduce al comune [[integrale di Riemann]] valutato nell'intervallo [r(a),r(b)] (o [r(b),r(a)], qualora fosse r(b)<r(a)). Alla famiglia degli ''integrali di linea'' appartengono anche gli ''[[integrali ellittici]] di prima e di seconda specie'', questi ultimi impiegati anche in ambito statistico per il calcolo della lunghezza della ''[[Indice_di_concentrazione#Curva_di_Lorenz\|curva di Lorenz]]''. {{Vedi anche\|Integrale di linea di seconda specie}} Similmente, per un [[campo vettoriale]] '''F''' : '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''<sup>''n''</sup>, l'integrale di linea lungo una curva ''C'', parametrizzata da '''''r'''''(''t'') con ''t'' ∈ [a, b], è definito da :<math>\int_C \mathbf{F} = \int_C \mathbf{F}(\mathbf{x})\cdot\,\mathrm{d}\mathbf{x} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt\mathrm{d}t.</math> === Indipendenza dal cammino === Riga 30: :<math>\nabla G = \mathbf{F},</math> allora la [[derivata]] della [[funzione composta]] di ''G'' e '''r'''(''t'') è :<math>\frac{\operatorname dG(\mathbf{r}(t))}{\operatorname dt} = \nabla G(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) = \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t)</math> che è l'integrando dell'integrale di linea di '''F''' lungo '''r'''(''t''). Segue che, dato un cammino ''C'' :<math>\int_C \mathbf{F}(\mathbf{x})\cdot\,\mathrm{d}\mathbf{x} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt\mathrm{d}t = \int_a^b \frac{\operatorname dG(\mathbf{r}(t))}{\operatorname dt}\,dt\mathrm{d}t = G(\mathbf{r}(b)) - G(\mathbf{r}(a)).</math> A parole, l'integrale di '''F''' lungo ''C'' dipende solamente dai valori nei punti Riga 51: L'integrale di linea è uno strumento fondamentale nell'[[analisi complessa]]. Sia ''U'' un [[insieme aperto]] di [[numeri complessi\|'''C''']], γ : [''a'', ''b''] → ''U'' sia una [[curva rettificabile]] e ''f'' : ''U'' → '''C''' sia una funzione. Allora l'integrale di linea :<math>\int_\gamma f(z)\,dz\mathrm{d}z</math> può essere definito suddividendo l'[[intervallo (matematica)\|intervallo]] [''a'', ''b''] in ''a'' = ''t''<sub>0</sub> < ''t''<sub>1</sub> < ... < ''t''<sub>''n''</sub> = ''b'' e considerando l'espressione Riga 61: Se γ è una curva [[differenziabile]] con continuità, l'integrale di linea può essere valutato come un integrale di una funzione reale di variabile reale: :<math>\int_\gamma f(z)\,dz\mathrm{d}z =\int_a^b f(\gamma(t))\,\gamma\,'(t)\,dt\mathrm{d}t.</math> Quando γ è una curva chiusa, cioè la sua posizione iniziale e finale coincidono, la notazione: :<math>\oint_\gamma f(z)\,dz\mathrm{d}z</math> è spesso usata per l'integrale di linea di ''f'' su γ. Riga 77: Si consideri una funzione ''f''(''z'')=1/''z'', e la circonferenza <math>\gamma</math> di raggio unitario intorno all'origine, parametrizzata da :<math> \gamma(t)= \mathrm{e}^{it} </math> Sostituendo, si trova: :<math>\oint_\gamma f(z)\,dz\mathrm{d}z = \int_0^{2\pi} {1\over \mathrm{e}^{it}} iei\mathrm{e}^{it}\,dt\mathrm{d}t = i\int_0^{2\pi} \mathrm{e}^{-it}e^{it}\,dt\mathrm{d}t=i\int_0^{2\pi}\,dt\mathrm{d}t = i(2\pi-0)=2\pi i</math> che può anche essere verificato con la [[formula integrale di Cauchy]].

Integrale di linea: differenze tra le versioni