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== Funzioni polinomiali ==
Sia <math>A</math> un anello. A un polinomio
:<math> f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 +\ldots + a_nx^n,</math>
a coefficienti in <math>A</math> si può associare una ''funzione polinomiale'', che è la [[funzione (matematica)|funzione]] da <math>A</math> in sé definita da
:<math>b \mapsto f(b) = a_0 + a_1 b + a_2 b^2 +\ldots + a_n b^n,</math>
per <math>b \in A</math>. Se <math>A</math> è [[insieme finito|finito]], allora polinomi diversi possono dare luogo alla stessa funzione. Per esempio se <math>A = \Z_p = \Z / p \Z</math> è il campo con un [[numero primo]] <math>p</math> di elementi, allora al polinomio nullo e al polinomio <math>x^p - x</math> è comunque associata, per il [[piccolo teorema di Fermat]], la funzione che manda ogni elemento di <math>A</math> in zero. Lo stesso può valere se <math>A</math> è [[insieme infinito|infinito]], ma non è un [[dominio d'integrità|dominio]], per esempio se <math>A</math> è un'[[algebra esterna]] infinita, in cui vale <math>x^2 = 0</math> per ogni <math>x \in A</math>.
Se invece <math>A</math> è un dominio infinito, allora vale il seguente ''principio d'identità dei polinomi'', che afferma che a polinomi diversi sono associate funzioni polinomiali diverse (cioè la funzione sopra descritta che associa a un polinomio una funzione polinomiale è [[funzione iniettiva|iniettiva]]):
:''due polinomi <math>p</math> e <math>q</math> a coefficienti in un dominio <math>A</math> infinito tali che <math> p(x) = q(x) </math> per ogni <math>x \in A</math> sono uguali.''
Questo dipende dal fatto che in un dominio un polinomio non nullo ha solo un numero finito di radici.
Negli esempi che seguono, fissiamo <math>A</math> eguale al campo dei numeri reali. A seconda del grado,
:un polinomio di grado <math>0</math> è una [[funzione costante]],
:un polinomio di grado <math>1</math> è una [[funzione lineare]],
:un polinomio di grado <math>2</math> è una [[funzione quadratica]] o [[conica]],
:un polinomio di grado <math>3</math> è una [[funzione cubica]].
=== Esempi ===
{|
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| [[File:Polynomialdeg2.png|thumb|left|Polinomio di grado 2:<br />''f''(''x'') = ''x''<sup>2</sup> - ''x'' - 2<br />= (''x''+1)(''x''-2)]]
| [[File:Polynomialdeg3.png|thumb|left|Polinomio di grado 3:<br />''f''(''x'') = ''x''<sup>3</sup>/5 + 4''x''<sup>2</sup>/5 - 7''x''/5 - 2<br />= 1/5 (''x''+5)(''x''+1)(''x''-2)]]
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| [[File:Polynomialdeg4.png|thumb|left|Polinomio di grado 4:<br />''f''(''x'') = 1/14 (''x''+4)(''x''+1)(''x''-1)(''x''-3) + 0.5]]
| [[File:Polynomialdeg5.png|thumb|left|Polinomio di grado 5:<br />''f''(''x'') = 1/20 (''x''+4)(''x''+2)(''x''+1)(''x''-1)(''x''-3) + 2]]
|}
=== Derivata ===
Una funzione polinomiale a coefficienti [[numero reale|reali]]
:<math> p(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots +a_nx^n,</math>
è derivabile e la sua [[derivata]] è ancora un polinomio,
:<math> p'(x) = a_1 + 2a_2x + \ldots +na_nx^{n-1}.</math>
Ragionando quindi [[induzione matematica|induttivamente]], si può quindi affermare che le funzioni polinomiali sono [[funzione liscia|infinitamente derivabili]] (o ''lisce'') e che la [[derivata#Derivata n-esima|derivata (''n''+1)-esima]] di un polinomio di grado <math>n</math> è la funzione nulla. In realtà esse sono anche [[funzione analitica|funzioni analitiche]].
== Anello di polinomi ==
{{vedi anche|Anello dei polinomi}}
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