Differenze tra le versioni di "Equazione del moto"

"... funzione del tempo", + fix vari
m (Annullate le modifiche di 82.115.162.130 (discussione), riportata alla versione precedente di 87.16.93.100)
Etichetta: Rollback
("... funzione del tempo", + fix vari)
In [[fisica]], un''''equazione del moto''' è un'[[equazione]] che descrive il moto di un [[Sistema (fisica)|sistema fisico]] in funzione della posizione nello [[spazio (fisica)|spazio]] e del [[tempo]].<ref name="Physics 1991">''Encyclopaedia of Physics'' (second Edition), R.G. Lerner, G.L. Trigg, VHC Publishers, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1 (VHC Inc.) 0-89573-752-3</ref> In particolare, l'equazione che caratterizza l'andamento della posizione in funzione del tempo è detta '''legge oraria'''.
 
Un sistema meccanico con ''n'' gradi di libertà viene solitamente descritto attraverso un insieme di [[coordinate generalizzate]] <math display="inline">q_1,q_2,\dotsldots,q_n</math>. La conoscenza in un dato istante temporale delle coordinate generalizzate e delle [[velocità]] generalizzate <math display="inline">\dot q_1,\dot q_2,\dotsldots,\dot q_n</math>, che sono le derivate rispetto al tempo delle coordinate generalizzate, consente una caratterizzazione completa dello stato meccanico del sistema. Con tali informazioni si possono determinare univocamente le [[accelerazione|accelerazioni]] <math display="inline">\ddot q_1,\ddot q_2,\dotsldots,\ddot q_n</math>, ed è quindi possibile prevedere l'evoluzione del sistema ad un tempo successivo a quello considerato. L'equazione del moto mette in relazione le quantità <math display="inline">q_i</math>, <math display="inline">\dot q_i</math> e <math display="inline">\ddot q_i</math>, e se l'incognita è <math display="inline">q_i</math>, come spesso accade, si tratta di un'[[equazione differenziale]] del secondo ordine le cui soluzioni sono le possibili leggi orarie <math>q_i (t)</math> di un punto materiale (o un corpo) soggetto ad una interazione nota. Le equazioni del moto sono completate dalla definizione dei parametri iniziali, che definiscono il [[problema di Cauchy]] e che sotto opportune ipotesi consentono di determinare univocamente la soluzione.
 
Solitamente la legge oraria di un oggetto in moto è un'equazione che si ricava dall'applicazione al sistema delle [[principi della dinamica|leggi della dinamica]] di [[Isaac Newton|Newton]] o di [[legge di conservazione|leggi di conservazione]], quali ad esempio la [[legge di conservazione dell'energia|legge di conservazione dell'energia meccanica]] o del [[conservazione del momento angolare|momento angolare]]. La legge oraria di un punto materiale può essere data sia rispetto ad un [[sistema di riferimento]] sia rispetto ad una [[ascissa curvilinea]]. Per esempio, se un punto materiale è vincolato su una guida per definirne la posizione si può sia indicare i valori della proiezione del punto sugli assi, sia la distanza da un punto di riferimento preso sulla guida.
Le soluzioni dell'equazione del moto (legge orarie) si rappresentano attraverso [[Orbita (matematica)|orbite]] nello [[spazio delle fasi]]. Una costante del moto è una funzione costante lungo ogni orbita del sistema. Dato un sistema di [[Equazione differenziale|equazioni differenziali]] del primo ordine:
 
:<math>\frac{\mathrm d \mathbf r}{\mathrm d t} = \mathbf f(\mathbf r, t)</math>
 
una funzione scalare <math>H(\mathbf r)</math> è una costante del moto o ''quantità conservata'' se per tutte le condizioni iniziali si ha:
 
:<math>\frac{\mathrm d H}{\mathrm d t} = 0 \qquad \forall t</math>
 
La soluzione del sistema è tangente al [[campo vettoriale]] <math>\mathbf f</math>, che può essere ad esempio un campo di [[velocità]], ed è l'intersezione di due superfici: esse sono gli integrali primi del sistema di equazioni differenziali. Utilizzando la [[regola della catena]] si mostra che il campo vettoriale <math>\mathbf f</math> è ortogonale al [[gradiente]] della quantità conservata <math>H</math>.
===2 dimensioni===
[[Immagine:Piano inclinato.svg|thumb|Moto su un piano inclinato.]]
Un caso meno banale, nellanel quale si vede anche la differenza tra sistema di riferimento cartesiano e ascissa curvilinea, è quello di un corpo puntiforme su un piano inclinato liscio, con inclinazione <math>\theta</math>, sottoposto alla [[forza di gravità]], come in figura. Il sistema di riferimento è preso con l'asse x orizzontale da sinistra a destra e l'asse ''y'' verticale orientato verso l'alto.
 
Il secondo principio della dinamica, una volta sommate tutte le forze ([[reazione vincolare]] inclusa) fornisce le due seguenti equazioni:
:<math>\mathbf s(t)=\int \!\mathbf v \,\mathrm{d}t= \mathbf v t+\mathbf s_0</math>
 
Se illa tempovelocità è in funzione delladel velocitàtempo, cioè se la velocità è espressa come <math>\mathbf v(t)=f(t)</math>, integrandola rispetto al tempo si ottiene l'equazione del moto:
 
:<math>\mathbf s(t)=\int \!f(t) \,\mathrm{d}t</math>
:<math>\mathbf s(t)=\int \!(\mathbf a t+\mathbf v_0 )\,\mathrm{d}t= \frac{1}{2}\mathbf a t^2+\mathbf v_0 t+\mathbf s_0</math>
 
Se il tempol'accelerazione è in funzione dell'accelerazionedel tempo, cioè se l'accelerazione è espressa come <math>\mathbf a(t)=f(t)</math>, integrandola rispetto al tempo si ottiene l'equazione che esprime la velocità:
 
:<math>\mathbf v(t)=\int \!f(t) \,\mathrm{d}t</math>
:<math>\mathbf s(t)=\int \! \left(\frac{1}{2}\mathbf j t^2+\mathbf a_0 t+\mathbf v_0 \right)\, \mathrm{d}t=\frac{1}{6}\mathbf j t^3+\frac{1}{2}\mathbf a_0 t^2+\mathbf v_0 t+\mathbf s_0</math>
 
Se illo tempostrappo è in funzione dellodel strappotempo, cioè se lo strappo è espresso come <math>\mathbf j(t)=f(t)</math>, integrandolo rispetto al tempo si ottiene l'equazione che esprime l'accelerazione:
 
:<math>\mathbf a(t)=\int \!f(t) \,\mathrm{d}t</math>
:<math>\mathbf s(t)=\int \! \left(\frac{1}{6}\mathbf r t^3+\frac{1}{2}\mathbf j_0 t^2+\mathbf a_0 t+\mathbf v_0 \right)\, \mathrm{d}t=\frac{1}{24}\mathbf r t^4+\frac{1}{6}\mathbf j_0 t^3+\frac{1}{2}\mathbf a_0 t^2+\mathbf v_0 t+\mathbf s_0</math>
 
Se illo temposbalzo è in funzione dellodel sbalzotempo, cioè se lo sbalzo è espresso come <math>\mathbf r(t)=f(t)</math>, integrandolo rispetto al tempo si ottiene l'equazione che esprime lo strappo:
 
:<math>\mathbf j(t)=\int \!f(t) \,\mathrm{d}t</math>
:<math>\mathbf s(t)=\int \! \left(\frac{1}{24}\mathbf c t^4+\frac{1}{6}\mathbf r_0 t^3+\frac{1}{2}\mathbf j_0 t^2+\mathbf a_0 t+\mathbf v_0 \right)\, \mathrm{d}t=\frac{1}{120}\mathbf c t^5+\frac{1}{24}\mathbf r_0 t^4+\frac{1}{6}\mathbf j_0 t^3+\frac{1}{2}\mathbf a_0 t^2+\mathbf v_0 t+\mathbf s_0</math>
 
Se il tempocrepitio è in funzione del crepitiotempo, cioè se il crepitio è espresso come <math>\mathbf c(t)=f(t)</math>, integrandolo rispetto al tempo si ottiene l'equazione che esprime lo sbalzo:
 
:<math>\mathbf r(t)=\int \!f(t) \,\mathrm{d}t</math>
Utente anonimo