Teorema fondamentale del calcolo integrale: differenze tra le versioni
Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
→Seconda parte: Chiarito il ruolo del teorema di Lagrange in un passaggio Etichette: Modifica da mobile Modifica da web per mobile |
Corretto un grosso frantendimento. Il secondo teorema fondamentale non è una conseguenza del primo e non dipende dalla continuità dell'integranda. Fornita una dimostrazione del teorema corretto e ricollocata la precedente come corollario del primo teorema |
||
Riga 2:
In particolare, dimostra che calcolare il valore dell'[[integrale]] di una [[funzione (matematica)|funzione]], a partire da un punto fisso <math>a</math> fino ad un punto variabile <math>x</math> del suo [[Dominio e codominio|dominio]], equivale esattamente a trovare una ''[[primitiva (matematica)|primitiva]]'' della funzione stessa.
La prima parte del teorema è detta '''primo teorema fondamentale del calcolo''', e garantisce l'esistenza della [[Primitiva (matematica)|primitiva]] per funzioni continue, ossia che qualsiasi funzione continua è la derivata di qualche altra funzione. La seconda parte del teorema è detta '''secondo teorema fondamentale del calcolo''', e consente di calcolare l'integrale definito di una funzione attraverso una qualsiasi delle sue primitive.
Line 74 ⟶ 73:
}}
==
Sia <math>f\colon [a,b]\to\mathbb R</math> una funzione continua che ammette una [[Primitiva (matematica)|primitiva]] <math>G</math> su <math>[a,b]</math>. Sia cioè <math>G(x)</math> tale che:
: <math>G'(x) = f(x)</math>
Line 124 ⟶ 123:
:<math>\int_a^b f(x) \; \mathrm dx = F(b)-F(a)= G(b)- G(a) </math>
}}
== Seconda parte ==
Sia <math>f\colon [a,b]\mapsto\mathbb{R}</math> una funzione [[Funzione_integrabile|Riemman-integrabile]] sul suo dominio e che ammette primitiva, ossia esiste
:<math>F'(x)=f(x)</math>
per ogni <math>x\in [a,b]</math>, allora
:<math>\int_a^b f(x)dx = F(b)-F(a)</math>
{{Approfondimento
|titolo=Dimostrazione
|larghezza=100%
|testo=
Poiché <math>f</math> è Riemman-integrabile, esiste ed è unico per ogni partizione dell'insieme di integrazione
<math>\int_a^b f(x)dx =\lim_{N\to\infty} \sum_{i=1}^N f(t_i)(x_i-x_{i-1})</math>
dove <math>t_i</math> è un elemento di <math> [x_{i-1},x_i]</math>, <math> x_0=a</math>, <math>\lim_{N\to\infty} x_n = b</math> e per ogni <math>i</math> <math>\lim_{N\to\infty} (x_i-x_{i-1})=0</math>.
Da <math>\lim_{N\to\infty} (x_i-x_{i-1})=0</math> e <math>t_i\in [x_{i-1},x_i]</math> segue <math>\lim_{N\to\infty} x_{i-1}= \lim_{N\to\infty} x_i= \lim_{N\to\infty} t_i</math>.
Poiché per l'altra ipotesi <math>F'(x)=f(x)</math>, applicando le osservazioni precedenti alla definizione di derivata otteniamo
:<math>f(t_i)=\lim_{x\to t_i} \frac{ F(t_i)-F(x)}{t_i-x}=\lim_{ N\to \infty} \frac{ F(\lim_{N\to \infty} x_{i})-F(x_{i-1})}{x_i-x_{i-1}} =\lim_{N\to \infty} \frac{ F(x_i)-F(x_{i-1})}{x_i-x_{i-1}}
</math>
per continuità di <math>F</math> in <math>t_i</math> (implicata dall'esistenza della derivata in quel punto).
Sostituendo l'espressione trovata per <math>f(t_i)</math> nella [[somma di Riemman]] abbiamo
:<math> \sum_{i=1}^\infty f(t_i) (x_i-x_{i-1})=\sum_{i=1}^\infty \frac{F(x_{i})-F(x_{i-1})}{(x_i-x_{i-1})} (x_i-x_{i-1})=\sum_{i=1}^\infty F(x_i)-F(x_{i-1})
</math>
che è una [[serie telescopica]], dunque <math>\sum_{i=1}^\infty F(x_{i})-F(x_{i-1})=\lim_{ n\to \infty} F(x_n)-F(x_0)</math>.
Ricordando che <math> F(x_0)=F(a)</math> e che <math>\lim_{n\to\infty} F(x_n)=F(b)</math>, per transitività dell'identità otteniamo
:<math>\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)</math>
QED
}}
| |||