Differenze tra le versioni di "Disposizione"

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Nel [[calcolo combinatorio]], se ''n'' e ''k'' sono due numeri [[numero intero|interi]] non negativi, si definisce '''disposizione''' di ''n'' elementi a ''k'' a ''k'' (oppure di ''n'' elementi di classe ''k'', oppure di ''n'' elementi presi ''k'' alla volta) ogni sottoinsieme ''ordinato'' di ''k'' elementi estratti da un insieme di ''n'' elementi tale che i sottoinsiemi differiscono se presentano qualche elemento diverso oppure se presentano gli stessi elementi ma ordinati diversamente. Talvolta ''k'' viene chiamato ''numero di posti'' e la disposizione di ''n'' elementi in ''k'' posti viene chiamata ''k''-disposizione.
 
Se nei sottoinsiemi ''non sono ammessi'' elementi ripetuti si parla di '''disposizioni semplici''' altrimenti di [['''disposizioni con ripetizione]]''': nel primo caso deve essere <math>k \le n.</math>
 
== Disposizioni semplici ==
:<math>D_{n, k} = n(n-1)(n-2) \cdot \cdot \cdot (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!}.</math>
 
Per dare una spiegazione di tale formula si può ricorrere all'''estrazione degli elementi'' da un sacchetto oppure alle ''funzioni iniettive''.
 
=== Estrazione degli elementi ===
:<math>D^'_{n, k} = n^k.</math>
 
Anche qui per dare una spiegazione di tale formula si può ricorrere all'''estrazione degli elementi'' da un sacchetto oppure alle ''funzioni iniettive e suriettive''.
 
=== Estrazione degli elementi ===
Passiamo ora a considerare le funzioni di 2 elementi in 4 elementi: la fig. 4 illustra tutte le 16 funzioni di tale tipo, siano esse iniettive o suriettive. In particolare si può notare come la situazione di suriettività dia vita alla ripetitività degli elementi del codominio che contraddistingue a sua volta le disposizioni con ripetizione: ad esempio la (1) di fig. 4 determina la disposizione AA mentre la (8) determina la disposizione BB.
 
Nel passaggio dalle funzioni di 1 elemento in 4 elementi a quella di 2 elementi in 4 elementi è come se al dominio avessimo aggiunto un altro elemento: a differenza del caso delle disposizioni semplici, ora nelle disposizioni con ripetizione consentiamo a questo secondo elemento di associarsi con uno qualunque dei 4 elementi del codominio ''anche con l'elemento del codominio già associato al primo elemento del dominio''. Pertanto le 4 associazioni dovuterelative al primo elemento del dominio vanno moltiplicate per le 4 associazioni dovuterelative al secondo elemento del dominio ottenendo 4x4=16 che sono proprio il totale delle funzioni iniettive e suriettive di 2 elementi in 4 elementi.
<br>[[File:Funzioni2-4.png|center|upright=3.2|miniatura|<div style="text-align:center">Fig. 4: funzioni di 2 elementi in 4 elementi</div>]]<br>
 
 
=== Esempi ===
I numeri composti da due cifre (00, 01, ..., 09, 10, 11, ..., 19, 20, 21, 22, ...., 99) sono quelli che si ottengono dalle diposizionidisposizioni con ripetizione di 10 elementi (i numeri da 0 a 9) presi a 2 a 2: chequindi sonoin paritotale asono 10<sup>2</sup>=100: sicome trattad'altronde disi 00,può 01,verificare ..., 09, 10, 11, ..., 19, 20, 21, 22, ...., 99direttamente.
 
Il numero delle possibili colonne del [[totocalcio]] composte da tredici pronostici scelti fra tre elementi (1, X o 2) è pari a 3<sup>13</sup> = 1.594.323. In questo caso k>n essendo k=13 ed n=3 a conferma del fatto che nelle disposizioni con ripetizione il numero di posti k può essere qualunque indipendentemente da n.
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