Modello di FitzHugh-Nagumo: differenze tra le versioni

In pratica rappresentiamo le funzioni <math>f_1</math> e <math>f_2</math> sul piano V-W e studiamo i loro punti di intersezione.

 

 

 

:<math>\left\{\begin{matrix} f_1=0\\

 

|}

 

E' necessario ora capire che tipo di punto stazionario sia l’origine. A tal fine possiamo ricorrere al metodo della linearizzazione: sia <math>\vec{f}(\vec{x})=(f_1(\vec{x},f_2(\vec{x}))</math> un campo vettoriale, con <math>\vec{x}=(V,W)</math>. <math>f(\vec{x})</math> può essere sviluppato nella somma di due termini:

Quindi si può approssimare <math>\vec{f}</math> con J. A questo punto si calcolano la traccia ed il determinante dello jacobiano. Senza entrare nel merito della teoria dei sistemi differenziali, si può utilizzare il seguente diagramma

 

 

 

Il punto (0,0) è dunque stabile. Consideriamo ora il comportamento delle linee di campo. +/- indica il segno che assumono le nurcline:

 

 

Il sistema ha andamenti diversi a seconda che “si parta” da sinistra o da destra di a.

Ora consideriamo il caso in cui la cellula sia soggetta ad una differenza di potenziale costante (<math>I_a=cost</math>). L’effetto è di innalzare la curva <math>f_2</math>, così da avere un altro punto stazionario, che chiamiamo '''q'''. Mentre l’origine continua ed essere stabile, '''q''' genera un [[ciclo limite]], in quanto viene soddisfatta la condizione sufficiente del teorema di Poincaré-Bendixon: dato un punto stazionario '''x''' ed una regione '''R''', compresa tra due curve come nella seguente figura,

 

 

se esiste un vettore:

<math>V=e_1P(x,y)+e_2Q(x,Y)</math>

 

costantemente rivolto verso l’interno di '''R''', allora si dimostra che esiste in '''R''' un [[ciclo limite]].

Nel caso del modello di Fitz-Hugh-Nagumo si può notare che esiste una regione '''R''' attorno a '''q''' tale da soddisfare il teorema di Poincaré-Bendixon:

 

 

Poiché vi sono dei cicli limite, l’andamento di V deve essere di tipo oscillatorio. In sostanza il segnale di depolarizzazione è [[aleatorio]] e [[non stazionario]] ed è generato dalla depolarizzazione della membrana ad opera di un impulso elettrico che interrompe momentaneamente lo stato di equilibrio (stato di riposo) in cui si trova la cellula. Con questo modello si spiega il pace-maker.