Campo elettromagnetico: differenze tra le versioni

Il campo elettromagnetico interagisce nello spazio con [[Carica (fisica)|cariche]] [[Carica elettrica|elettriche]] e può manifestarsi anche in assenza di esse, trattandosi di un'entità fisica che può essere definita indipendentemente dalle sorgenti che l'hanno generata. In assenza di sorgenti il campo elettromagnetico è detto "radiazione elettromagnetica" o "onda elettromagnetica",<ref>{{Cita|Landau, Lifshits|Pag. 147|Landau}}.</ref> essendo un fenomeno [[onda (fisica)|ondulatorio]] che non richiede di alcun supporto materiale per diffondersi nello spazio e che nel [[vuoto (fisica)|vuoto]] viaggia alla [[velocità della luce]]. Secondo il [[modello standard]], il [[quanto]] della radiazione elettromagnetica è il [[fotone]], mediatore dell'interazione elettromagnetica. Il campo elettrico <math>\mathbf E</math> e il campo magnetico <math>\mathbf B</math> sono solitamente descritti con [[vettore (matematica)|vettori]] in uno spazio a tre dimensioni: il campo elettrico è un [[campo di forze]] [[Campo vettoriale conservativo|conservativo]] generato nello spazio dalla presenza di cariche elettriche stazionarie, mentre il campo magnetico è un campo vettoriale non conservativo generato da cariche in moto.

L'introduzione di un campo, in particolare di un [[campo di forze]], è un modo per descrivere l'interazione reciproca tra cariche, che nel vuoto avviene alla [[velocità della luce]]. Nella [[fisica classica|teoria classica]] dell'elettromagnetismo tale interazione viene considerata istantanea, dal momento che la velocità della luce è approssimativamente di 300000 chilometri al secondo, mentre nella trattazione [[teoria della Relatività|relativistica]] si tiene conto del fatto che tale velocità è finita e la forza tra cariche si manifesta dopo un certo tempo: in tale contesto è corretto affermare che una carica interagisce solamente con il campo e questo interagisce solo successivamente su un'eventuale seconda carica posta nelle vicinanze.<ref>{{Cita|Landau, Lifshits|Pag. 67|Landau}}.</ref> In tale contesto il campo elettromagnetico viene descritto dalla teoria dell'[[elettrodinamica classica]] in forma [[covariante]], cioè invariante sotto [[trasformazione di Lorentz]], e rappresentato dal [[tensore elettromagnetico]], un [[tensore]] a due indici di cui i vettori campo elettrico e magnetico sono particolari componenti.

A partire dal quadripotenziale si possono definire i campi nel seguente modo:<ref>{{Cita|Jackson|Pag. 239|Jackson}}.</ref>

Tali espressioni sono equivalenti alle equazioni di Maxwell.<ref name=pot>{{Cita|Jackson|Pag. 240|Jackson}}.</ref>

Il gauge di Coulomb, detto anche ''gauge trasversale'' o ''gauge di radiazione'', è scelto in modo tale che:<ref>{{Cita|Jackson|Pag. 241|Jackson}}.</ref>

dove <math>\mathcal L</math> è la lagrangiana. La quantità <math>\gamma \mathcal L </math> deve essere quindi invariante. La lagrangiana <math>\mathcal L_{free}</math> per una particella libera ha la forma:<ref>{{Cita|Jackson|Pag. 583|Jackson}}.</ref>

Tale espressione è motivata dal fatto che la lagrangiana non deve dipendere dalla posizione: l'unica possibile quantità invariante è allora <math>u_\alpha u^\alpha = c^2</math>, dove <math>u^\alpha</math> è la [[quadrivelocità]]. In questo modo la lagrangiana risulta proporzionale a <math>\gamma^{-1} = \sqrt {1 - \beta^2}</math>, e dalle [[equazioni di Eulero-Lagrange]] si verifica che la corrispondente [[equazione del moto]] è:<ref name=lag>{{Cita|Jackson|Pag. 581|Jackson}}.</ref>

dove si osserva che nel limite non relativistico essa si riduce all'energia potenziale di interazione <math> e\phi</math> tra la carica ed il campo, con <math>\phi</math> la componente temporale del [[quadripotenziale]] <math>A^\alpha</math>: la richiesta di invarianza sotto traslazione conduce inoltre alla scelta del vettore <math>u^\alpha</math> da [[prodotto interno|moltiplicare scalarmente]] con <math>A^\alpha</math> per ottenere una quantità invariante.<ref>{{Cita|Jackson|Pag. 582|Jackson}}.</ref> L'espressione della lagrangiana di interazione è tuttavia motivata anche da osservazioni sperimentali, e si può giustificare imponendo che <math>\gamma \mathcal L_{int}</math> sia una funzione la cui derivata di grado massimo sia la derivata temporale prima delle coordinate, che sia invariante sotto traslazione e che sia lineare rispetto a potenziale e carica.<ref name=lag/>

In presenza di campo l'azione <math>\mathcal{S}</math> è così definita come l'integrale della lagrangiana totale <math>\mathcal L = \mathcal L_{free} + \mathcal L_{int}</math> nel tempo tra gli istanti iniziale e finale dell'evoluzione del sistema. In notazione relativistica si può sfruttare l'intervallo spaziotemporale (scalare) <math>ds=\sqrt{x_i x^i}</math>, dove <math>x^i</math> è la posizione, e dal momento che <math>ds = c d \tau = c dt / \gamma</math>, si ha:<ref>{{Cita|Landau, Lifshits|Pag. 69|Landau}}.</ref>

con <math>A_i</math> il [[quadripotenziale]]. Il principio di minima azione stabilisce che il moto di un sistema fisico fra due istanti dello spazio delle configurazioni è tale che l'azione sia stazionaria in corrispondenza della traiettoria del moto per piccole perturbazioni dello stesso, ovvero:<ref>{{Cita|Landau, Lifshits|Pag. 88|Landau}}.</ref>

che è l'[[forza di Lorentz|equazione del moto]] per una particella carica in un campo elettromagnetico.<ref>{{Cita|Landau, Lifshits|Pag. 89|Landau}}.</ref>

dove <math>p^\alpha</math> è il [[quadrimpulso]] e <math>\tau</math> è il [[tempo proprio]] della particella. Il tensore <math>F^{\alpha \beta} </math> è il [[tensore elettromagnetico]] contravariante e <math>u</math> è la [[quadrivelocità]] della particella. L'equazione può anche essere scritta come:<ref>{{Cita|Jackson|Pag. 580|Jackson}}.</ref>

Raggruppando le tre equazioni spaziali si ha, esplicitamente:<ref>{{Cita|Jackson|Pag. 579|Jackson}}.</ref>

I potenziali ritardati descrivono i potenziali nel caso in cui distribuzione di carica e corrente presente, sorgente del campo, sia variabile nel tempo. Si tratta delle espressioni dei potenziali utilizzata quando non è possibile utilizzare l'approssimazione secondo cui la propagazione dell'[[interazione elettromagnetica]] sia istantanea. Ponendo di trovarsi nel vuoto, nel [[gauge di Lorenz]] i potenziali ritardati assumono la forma:<ref>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 506|mencuccini}}.</ref>

La soluzione al tempo ritardato fornisce l'espressione preliminare per i campi:<ref>{{Cita|Jackson|Pag. 246|Jackson}}.</ref>

la cui scrittura esplicita è fornita dalle [[equazioni di Jefimenko]]:<ref>{{Cita|Jackson|Pag. 247|Jackson}}.</ref>

Il potenziale elettromagnetico <math>A^{\alpha}(x)=(\varphi,\mathbf{A})</math> generato nel punto <math>x=(x_0,\mathbf{x})</math> da una sorgente puntiforme di carica in moto <math>e</math> è dato da:<ref>{{Cita|Jackson|Pag. 662|Jackson}}.</ref>

con <math>\mathbf{n}</math> vettore unitario che ha la direzione di <math>\mathbf{x} - \mathbf{r}_s(\tau)</math>. Si ottiene in questo modo una forma equivalente, ma non covariante, del [[potenziale elettrico]] <math>\varphi</math> e del [[potenziale magnetico]] <math>\mathbf{A}</math> generati da una sorgente puntiforme di carica in moto:<ref>{{Cita|Jackson|Pag. 663|Jackson}}.</ref>

e per il campo magnetico:<ref>{{Cita|Jackson|Pag. 664|Jackson}}.</ref>

Se si trascura il campo di Coulomb generalizzato, la componente radiale del [[vettore di Poynting]], risultante dall'espressione di Liénard–Wiechert dei campi, è data da:<ref>{{Cita|Jackson|Pag. 668|Jackson}}.</ref>

Integrando tale espressione su tutto l'angolo solido si ottiene la generalizzazione relativistica della formula di Larmor:<ref>{{Cita|Jackson|Pag. 666|Jackson}}.</ref>

Nel limite relativistico per velocità prossime alla [[velocità della luce]], in cui <math>\gamma>>1</math>, la distribuzione angolare può approssimativamente essere scritta come:<ref>{{Cita|Jackson|Pag. 671|Jackson}}.</ref>