Geometria euclidea: differenze tra le versioni
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La '''geometria euclidea''' è un sistema matematico attribuito al [[matematico]] [[Alessandria d'Egitto|alessandrino]] [[Euclide]], che la descrisse nei suoi ''[[Elementi di Euclide|Elementi]]''. La sua geometria consiste nell'assunzione di cinque semplici e intuitivi concetti, detti [[assiomi]] o [[postulati]], e nella derivazione, da detti assiomi, di altre proposizioni ([[teorema|teoremi]]) che non abbiano alcuna contraddizione con essi. Questa organizzazione della geometria permise l'introduzione della [[retta]], del [[Piano (geometria)|piano]], della [[lunghezza]] e dell'[[area]]. Sebbene molte delle conclusioni di Euclide fossero già conosciute dai matematici,<ref>{{cita libro|autore=Eves, Howard|anno=1963|titolo=A Survey of Geometry|editore=Allyn and Bacon|p=19|volume=1}}</ref> egli mostrò come queste potessero essere organizzate in una maniera deduttiva e con un [[Sistema formale|sistema logico]].<ref>{{cita libro|autore=Eves, Howard|anno=1963|titolo=A Survey of Geometry|editore=Allyn and Bacon|p=10|volume=1}}</ref> Gli ''Elementi'' di Euclide
Dopo Euclide sono nati particolari tipi di geometrie che non necessariamente rispettano i cinque postulati; tali geometrie sono definite ''[[geometrie non euclidee|non euclidee]]''.
== I cinque postulati ==
I
# ''Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una
# ''Si può prolungare un segmento oltre i due punti indefinitamente;''
# ''Dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere un cerchio;''
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[[File:Parallel postulate en.svg|thumb|right|Il quinto postulato di Euclide]]
Si nota subito una differenza tra i primi quattro, immediatamente evidenti e praticamente verificabili col semplice uso di matita, righello e compasso,
Il quinto postulato è equivalente all'assioma seguente, oggi più usato:
:''Per un punto esterno
Sulla violazione di questi postulati, e soprattutto sul quinto, si fondano le [[geometrie non euclidee]] come ad esempio la [[geometria iperbolica]].
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Dagli [[assioma (matematica)|assiomi]] si possono dedurre delle relazioni di incidenza fra punti, rette e piani. Ad esempio:
* Per un punto passano infinite rette
* Per due punti distinti passa una
* Per una retta nello spazio passano infiniti piani
* Per tre punti non allineati nello spazio passa un solo piano
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=== Sul V postulato ===
{{Vedi anche|V postulato di Euclide}}
Nel [[1899]], [[David Hilbert]] (nato a
Venne così pubblicato ''[[Grundlagen der Geometrie]]'', in cui veniva fornito un sistema assiomatico completo, fondato su 21 assiomi, per la geometria euclidea. Fatto questo, subito venne dimostrato da [[Henri Poincaré]] che la [[geometria iperbolica]], indagata da [[Giovanni Girolamo Saccheri]], fondata correttamente da [[Nikolaj Ivanovič Lobačevskij]] e confermata con un modello da [[Eugenio Beltrami]], poteva essere messa in corrispondenza con la geometria euclidea, in modo tale che un'eventuale autocontraddizione dell'una avrebbe causato la rovina anche dell'altra.
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Con queste premesse in particolare Euclide comincia le sue proposizioni definendo il [[Criteri di congruenza dei triangoli#Primo criterio|primo criterio di congruenza]] (proposizione 4), il [[Criteri di congruenza dei triangoli#Secondo criterio|secondo criterio di congruenza]] (proposizione 6) e il [[Criteri di congruenza dei triangoli#Terzo criterio|terzo criterio di congruenza]] (proposizione 8).<ref>{{cita|Euclide|pp. 8-14}}.</ref> Ognuno dei criteri rispetta gli assiomi di congruenza:
# ''Proprietà riflessiva'': Ogni figura del piano è congruente a
# ''Proprietà transitiva'': Se una certa figura A è congruente a un'altra figura B e la figura B è congruente alla figura C, allora la figura A è congruente alla figura C (in simboli: Se <math>A \cong B \land B \cong C\Rightarrow A \cong C</math>)
# ''Proprietà simmetrica'': Se una certa figura A è congruente a B allora B è congruente ad A (in simboli: <math>A \cong B \Rightarrow B \cong A</math>)<ref>{{cita|Sasso|p. 32}}.</ref>
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