Convergenza: differenze tra le versioni
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{{Nota disambigua|descrizione= informazioni sulla convergenza in ambito multimediale |titolo=[[Convergenza (multimedialità)]]}}
In [[matematica]], la '''convergenza''' è la proprietà di una certa [[funzione (matematica)|funzione]] o [[successione (matematica)|successione]] di possedere un [[limite (matematica)|limite]] finito di qualche tipo, al tendere della [[variabile]] (o dell'indice eventualmente) verso certi valori in un punto o all'[[infinito (matematica)|infinito]].
Il concetto si applica dunque a vari campi della matematica, tutti in qualche modo collegati ma con interpretazioni leggermente diverse.
==Convergenza di una successione in una dimensione==
{{vedi anche|Limite di una successione}}
Data una [[successione (matematica)|successione]] numerica <math>\{a_{n}\}</math> di [[numero reale|numeri reali]], la convergenza di questa successione implica che, dato un [[intorno]], per <math>n \to \infty</math>, da un certo indice in poi, tutti i termini della successione si trovino entro questo intorno. Matematicamente si esprime:
Data <math>\{a_{n}\}</math>, si dice che essa converge al numero '''a''' per <math>n \to \infty</math>, e si scrive <math>\lim_{n \to \infty} a_{n} = a</math>, se:
:<math>\forall \epsilon >0</math>, esiste un indice <math>N(\epsilon) > 0</math>, in generale dipendente da <math>\epsilon</math>, tale che la <math>\|a_{n} - a\| < \epsilon</math>, per <math>n > N(\epsilon)</math>.
Questo garantisce che tutti i termini della successione siano contenuti nell'intorno <math>a - \epsilon < a_{n} < a + \epsilon</math>; dunque una successione convergente è necessariamente [[funzione limitata|limitata]].
==Convergenza delle serie numeriche==
{{vedi anche|Serie|Criteri di convergenza}}
La convergenza di una [[serie]] si basa sul [[criterio di convergenza di Cauchy]] applicato alla successione delle somme parziali. Data la serie <math>\sum_{i=0}^{\infty} a_i</math> essa è convergente se:
:<math>\forall \epsilon >0</math> esiste un indice <math>N(\epsilon) > 0</math> tale che <math>\forall r,p > N(\epsilon)</math> vale:
:<math>\| \sum_{i=r+1}^{p} a_{i} \| < \epsilon</math>
Esiste una convengenza assoluta (cioè della serie con termini positivi), cioè se la serie:
:<math>\sum_{i=0}^{\infty} \|a_i\|</math>
converge, allora converge anche la serie originaria.
Nel caso di serie a segno alterno vale il [[criteri di convergenza|criterio di Leibniz]]: se la serie <math>\sum_{i=0}^{\infty} a_i</math> è a segni alterni e la sua serie assoluta <math>\sum_{i=0}^{\infty} \| a_i \|</math> tende [[funzione monotona|monotonicamente]] a zero, allora anche la serie originaria converge.
In definitiva la convergenza della serie implica l'esistenza di un limite a cui la somma parziale della serie tende per <math>i \to \infty</math>. In generale la convergenza delle serie si effettua con opportuni criteri come quello del confronto, della radice e del rapporto.
==Convergenza di una funzione di variabile reale==
{{vedi anche|Limite di una funzione|Limite di funzioni a più variabili}}
Formalmente il concetto di convergenza di una successione è simile a quello delle funzioni <math>f(x)</math>:
Data una successione di numeri reali <math>\{x_{n}\}</math>, che converge ad un certo limite <math>\xi</math> per <math>n \to \infty</math>, significa anche che:
<math>\lim_{n \to \infty} f(x_{n}) = \lim_{x \to \xi} f(x) = \eta </math>,
e matematicamente si esprime:
:<math>\forall \epsilon >0</math>, esiste un intorno <math>\delta (\epsilon) > 0</math>, in generale dipendente da <math>\epsilon</math>, tale che la <math>\| f(x) - \eta \| < \epsilon</math>, per <math>\| x - \xi \| < \delta</math>.
Questo garantisce che come tutti i termini della successione sono contenuti nell'intorno di <math>x</math>, anche tutti i valori della funzione saranno contenuti in un intorno <math>\eta - \epsilon < f(x) < \eta + \epsilon</math>; dunque ogni funzione convergente è necessariamente limitata. Questo impica anche il concetto di [[Continuità|continuità]] di una funzione.
===Teorema della convergenza===
Suppuniamo di avere una funzione <math>f(x)</math> tale che <math>f( \alpha )=0 </math> con α appartenete ad un certo [[intervallo (matematica)|intervallo]] <math>J</math>.
Possiamo porre <br/>
<math>x=x-g(x) f(x)= \phi (x)</math> con <math>g(x)\ne 0 \forall \; x\in J</math> <br/>
Si avrà dunque <math> \phi(\alpha)= \alpha </math> <br/>
Se <math>\exists \delta >\ 0 </math> tale che <math> [\alpha - \delta, \alpha + \delta]=J </math> <br/>
e se <math>\exists k \in(0,1) </math> tale che <math> \forall x \in J, |\phi'(x)| \le k </math> <br/>
allora certamente: <br/>
# se <math> x_0 \in J </math> allora <math> x_i = \phi ( x_{i-1}) </math> con <math> i=1,2,3,... </math> <br/>
# <math>\lim_{i \to \infty}x_i = \alpha </math><br/>
# α è l'unica [[radice (matematica)|radice]] in <math> J </math> <br/>
;Dimostrazione
* Premesso che <math> x_0 \in J </math>, che <math> |x_0 - \alpha| \le \delta </math> e che ξ è un opportuno punto dell'intervallo, si ha:
:<math>\alpha| \le |x_0- \alpha| </math>
Come <math> x_1 \in (x_0, \alpha) </math> si avrà che <math> x_i \in (x_{i-1}, \alpha) </math> per ogni i=1,2,...
:<math> |x_i - \alpha| = |\phi (x_{i-1}) - \phi (\alpha)|= | \phi'(\xi) (x_{i-1}- \alpha)| \le k |x_0- \alpha| \le k^2 |x_{i-2}- \alpha| \le .... \le k^i |x_0- \alpha| </math>
Poiché <math> k^i </math> tende a zero quando i tende ad infinito, la successione converge.
* Supponiamo per assurdo che nell'intervallo vi sia β, un'altra radice della funzione e diversa da α. Avremmo:
:<math> |\beta - \alpha|= |\phi (\beta) - \phi(\alpha)|=|\phi(\xi) (\beta - \alpha)| \le k |\beta - \alpha| \le |\beta - \alpha| </math>
Che <math> |\beta - \alpha| \le |\beta - \alpha| </math> è assurdo, quindi α srà l'unica radice dell'intervallo.
==Convergenza delle successioni e serie di funzioni==
{{vedi anche|Successione di funzioni|Serie di funzioni}}
Per le [[successione di funzioni|successioni]] <math>\{f_n(x)\}_n</math> e [[serie di funzioni]] <math>\sum_{n=0}^{\infty} f_n(x)</math> si enunciano più tipi di convergenza:
*convergenza ''puntuale'' della successione: se <math>\lim_{n \to \infty} f_n(x)=f(x)</math>
*convergenza ''uniforme'' della successione: se <math>\lim_{n \to \infty} \|f_n - f\|_{\infty}=0</math> (in [[norma uniforme]])
*convergenza ''puntuale'' della serie: se la serie numerica <math>\sum_{n=0}^{\infty} f_n(x_0)</math> converge per ogni <math>x_0</math>
*convergenza ''uniforme'' della serie: se la successione delle somme parziali converge uniformemente
*convergenza ''totale'' della serie: se esiste una serie numerica <math>\sum_{n=0}^{\infty} M_n</math> convergente tale che <math>|f_n(x)| \leq M_n</math>, per ogni <math>x</math> e <math>n</math>
==Convergenza di variabili casuali==
{{vedi anche|Convergenza di variabili casuali}}
Si dice che una successione di [[variabile casuale|variabili casuali]] <math>\{X_n\}_n</math> converge
*''in distribuzione'', se <math>\lim_{n \to \infty} F_n(x)=F(x)</math> (<math>F_n</math>, <math>F</math> [[funzione di ripartizione|funzioni di ripartizione]] delle <math>X_n</math> e del limite <math>X</math> rispettivamente)
*''in probabilità'', se <math>\lim_{n \to \infty} P(|X_n-X|<\epsilon)=1</math>
*''quasi certamente'', se <math>\lim_{n \to \infty} X_n=X</math>
*''in media r-esima'', se <math>E|X_n|^r<\infty</math> per ogni <math>n</math> e <math>\lim_{n \to \infty}E|X_n-X|^r=0 </math>
==Voci correlate==
*[[Limite (matematica)|Limite]]
*[[Infinito (matematica)|Infinito]]
*[[Successione (matematica)|Successione]]
*[[Serie]]
*[[Continuità]]
*[[Integrale]]
*[[Teorema della convergenza monotona]]
*[[Teorema della convergenza dominata]]
[[Categoria:Calcolo infinitesimale]]
[[bg:Конвергенция]]
[[de:Konvergenz]]
[[en:Convergence]]
[[fi:Konvergenssi]]
[[fr:Convergence]]
[[he:התכנסות]]
[[hu:Konvergencia]]
[[ka:კრებადობა]]
[[nl:Convergentie]]
[[pl:Zbieżność]]
[[ru:Конвергенция]]
[[sr:Конвергенција]]
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