Formule di riduzione LSZ: differenze tra le versioni
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La '''formula di riduzione LSZ''' è un metodo utilizzato in [[teoria quantistica dei campi]] per scrivere la [[Matrice S|matrice di scattering]] in funzione delle [[Funzione di correlazione|funzioni di correlazione]] [[Ordinamento sul cammino|tempo ordinate.]]
==Esempio==
Si consideri ad esempio una teoria di particelle scalari <math>\phi</math> di massa ''m'', con un'azione:
:<math>\mathcal{S}[\phi]=\int \text{d}^4 x \frac{1}{2}\left(\partial_\mu \phi \partial^\mu \phi -m^2\phi^2 \right) - V(\phi)</math>
dove <math>V(\phi)</math> può essere, ad esempio, un termine di interazione <math>\lambda\phi^4</math>, che al momento non è necessario specificare. Le funzioni di Green a ''n'' punti della teoria sono definite come i valori di aspettazione sul vuoto del prodotto tempo-ordinato di ''n'' campi:
:<math>G^{(n)}(x_1,x_2,\dots,x_n)\equiv \langle 0 |T \left( \phi(x_1)\phi(x_2)\dots\phi(x_n) \right) |0\rangle=
\frac{\int \mathcal{D}\phi \,\phi(x_1)\phi(x_2)\dots\phi(x_n)\,e^{i\mathcal{S}}}{\int \mathcal{D}\phi \,e^{i\mathcal{S}}}\,.</math>
Esse sono calcolabili perturbativamente attraverso il [[teorema di Wick]]. Si dimostra che le [[trasformata di Fourier|trasformate di Fourier]] delle funzioni di Green hanno dei poli in corrispondenza delle masse fisiche delle particelle, ovvero quando <math>p_i^2=m^2</math>. A questi poli corrispondono proprio gli stati asintotici delle teoria: infatti questi stati sono creati e distrutti dai campi "in" ed "out", che soddisfano l'[[equazione di Klein-Gordon]]:
:<math>(\Box_x + m^2 ) \phi_{in}(x)=(\Box_x + m^2 ) \phi_{out}(x)=0\,,</math>
che differisce dalle corrette equazioni del moto per l'assenza del potenziale di interazione. Di conseguenza, in modo intuitivo, è necessario estrarre il contributo polare delle funzioni di Green per ottenere le funzioni di Green costruite con i campi asintotici, che generano proprio gli elementi di matrice S desiderati. Se nello stato iniziale sono presenti ''m'' particelle di impulsi ''q<sub>1</sub>'',...,''q<sub>m</sub>'' e nello stato finale sono presenti ''n'' particelle di impulsi ''p<sub>1</sub>'',...,''p<sub>n</sub>'', la formula di riduzione che descrive il procedimento è data da:
:<math>
\langle p_1,\ldots,p_n\ \mathrm{out}|q_1,\ldots,q_m\ \mathrm{in}\rangle=\int
\prod_{i=1}^{m}
\left\{
\mathrm{d}^4x_i\
i\frac{e^{-iq_i\cdot x_i}}{(2\pi)^{3/2} Z^{1/2}}
\left(\Box_{x_i}+m^2\right)
\right\}\times
</math>
:<math>
\times
\prod_{j=1}^{n}
\left\{
\mathrm{d}^4y_j\
i\frac{e^{+ip_j\cdot y_j}}{(2\pi)^{3/2} Z^{1/2}}
\left(\Box_{y_j}+m^2\right)
\right\}
G^{(n+m)}(x_1,\dots,x_m,y_1,\dots,y_n)
</math>
Il processo di estrazione del polo è più evidente se la formula è scritta in termini della trasformata di Fourier della funzione di Green. A parte la moltiplicazione per alcune costanti (tra cui le [[costante di rinormalizzazione|costanti di rinormalizzazione]] dei campi ''Z'') la formula mostra che basta moltiplicare la funzione di Green per dei fattori <math>p^2-m^2</math>, che eliminano i poli, e poi mandare ''on-shell'' gli impulsi, ovvero eseguire il limite <math>p^2\to m^2</math> corrispondente alle particelle fisiche:
:<math>
\langle p_1,\ldots,p_n\ \mathrm{out}|q_1,\ldots,q_m\ \mathrm{in}\rangle=
\prod_{i=1}^{m}
\left\{
\frac{-i}{(2\pi)^{3/2} Z^{1/2}}
\left(p_i^2-m^2\right)
\right\}\times
</math>
:<math>
\times
\prod_{j=1}^{n}
\left\{
\frac{-i}{(2\pi)^{3/2} Z^{1/2}}
\left(q_i^2-m^2\right)
\right\}
\tilde{G}^{(n+m)}(p_1,\ldots,p_n;-q_1,\ldots,-q_m)
</math>
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