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Minimo comune multiplo: differenze tra le versioni

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In [[matematica]], il '''minimo comune multiplo''' di due numeri [[Numero intero|interi]] <math>a</math> e <math>b</math>, indicato con <math>\operatorname{mcm}(a,b)</math>, è il più piccolo numero intero positivo multiplo sia di <math>a</math> sia di <math>b</math>. Nel caso particolare in cui <math>a=0</math> oppure <math>b=0</math>, allora si definisce <math>\operatorname{mcm}(a,b)</math> uguale a [[0 (numero)|zero]]<ref>{{cita|Hasse|p. 10|Hasse}}; se <math>a=b=0</math> il minimo comune multiplo non è definito.</ref>. È possibile calcolare il minimo comune multiplo di più di due numeri, sostituendo man mano due dei numeri con il loro comune multiplo e proseguendo fino a che non rimane un solo numero che è il risultato; si può dimostrare che il risultato è lo stesso qualunque sia l'ordine dellein cui vengono fatte le sostituzioni.
 
== MinimoCalcolo del minimo comune multiplo e massimo comun divisore ==
 
Il minimo comune multiplo è utile quando occorre sommare due o più [[Frazione (matematica)|frazioni]]. La regola per la somma di frazioni richiede infatti di cominciare con il trasformarle in modo che tutti i denominatori siano uguali; a questo punto si possono sommare i numeratori, e usare il valore comune dei denominatori come denominatore. Il più piccolo denominatore che si può usare, detto ''minimo comune denominatore'', è proprio il minimo comune multiplo dei denominatori. Il minimo comune multiplo di due numeri <math>a</math> e <math>b</math> diversi da zero può essere calcolato usando il [[massimo comun divisore]] (MCD) di <math>a</math> e <math>b</math> e la formula seguente:
Se si considerano due o più [[Frazione (matematica)|frazioni]] ridotte ai minimi termini, il minimo comune multiplo dei denominatori fornisce il loro '''minimo comune denominatore'''. Ossia il più piccolo numero che può essere utilizzato per trasformare tutte le frazioni di partenza in frazioni con lo stesso denominatore e quindi direttamente [[Somma algebrica|sommabili algebricamente]].
 
Se <math>a</math> e <math>b</math> non sono entrambi nulli, il minimo comune multiplo può essere calcolato usando il [[massimo comun divisore]] (MCD) di <math>a</math> e <math>b</math> e la formula seguente:
 
:<math>\operatorname{mcm}(a,b)=\frac{a\cdot b}{\operatorname{MCD}(a,b)}.</math>
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:<math>\operatorname{mcm}(21,6)
={21\cdot6\over\operatorname{MCD}(21,6)}
={21\cdot 6\over 3}={21\cdot 2}=42.</math>
 
Per semplificare i conteggi ci si può ricordare che per costruzione il MCD tra due numeri è multiplo di ciascuno di essi; si può pertanto cominciare a dividere uno dei numeri per il massimo comun divisore e poi moltiplicare il risultato per il secondo numero. In questo esempio abbiamo così <math>{{21:3}\cdot 6}={7\cdot 6}=42.</math>. Per calcolare velocemente il minimo comune multiplo si può usare l'[[algoritmo di Euclide]].
Quindi, l'[[algoritmo di Euclide]] per il MCD fornisce anche un veloce [[algoritmo]] per il calcolo del mcm.
 
== Calcolo efficiente del mcm ==
La formula
 
:<math>\operatorname{mcm}(a,b)=\frac{a\cdot b}{\operatorname{MCD}(a,b)}</math>
 
è adeguata per calcolare il mcm per piccoli numeri.
 
Poiché <math>(ab)/c=a(b/c)=(a/c)b</math>, è possibile calcolare il mcm usando la formula precedente in modo più efficiente, dapprima utilizzando il fatto che
<math>b/c</math> o <math>a/c</math> sono più semplici da calcolare rispetto alla divisione tra il prodotto <math>ab</math> e <math>c</math>: il fatto che <math>c</math> sia multiplo sia di <math>a</math> che di <math>b</math> consente di semplificare completamente il fattore <math>c</math> dalla frazione <math>a/c</math> oppure da <math>b/c</math>, prima di effettuare il prodotto <math>ab</math>.
 
Allora il mcm si può calcolare o così:
 
:<math>\operatorname{mcm}(a,b)=\left({a\over\operatorname{MCD}(a,b)}\right)\cdot b</math>
 
oppure così:
 
:<math>\operatorname{mcm}(a,b)=a\cdot\left({b\over\operatorname{MCD}(a,b)}\right)</math>
 
In questo modo, l'esempio precedente diventa:
 
:<math>\operatorname{mcm}(21,6)={21\over\operatorname{MCD}(21,6)}\cdot6={21\over3}\cdot6=7\cdot6=42.</math>
 
Anche se i numeri sono grandi e non sono facilmente scomponibili in fattori, il MCD può essere calcolato velocemente usando l'[[algoritmo di Euclide]].
 
=== Come ricordarsi di semplificare prima di moltiplicare ===
Line 91 ⟶ 65:
:i fattori primi <math>2</math> e <math>5</math> sono stati presi con esponente massimo <math>2</math>.
 
== Minimo comune multiplo tra espressioni algebriche ==
Analogamente si ragiona se si vuole eseguire il mcm tra espressioni algebriche: si procede alla scomposizione in fattori ([[monomio|monomi]], [[binomio|binomi]], [[trinomio|trinomi]]...), comunque espressioni algebriche non trasformabili in prodotto di espressioni algebriche di grado inferiore) primi tra loro e si ricava il mcm tra le espressioni algebriche applicando la stessa definizione data per i numeri.▼
 
▲AnalogamenteIl siminimo ragionacomune semultiplo sipuò vuoleanche eseguireessere il mcmcalcolato tra espressioni algebriche: si procede alla scomposizione in fattori ([[monomio|monomi]], [[binomio|binomi]], [[trinomio|trinomi]]...), comunque espressioni algebriche non trasformabili in prodotto di espressioni algebriche di grado inferiore) primi tra loro e si ricava il mcm tra le espressioni algebriche applicando la stessa definizione data per i numeri.
 
Esempio:
Estratto da "https://it.wikipedia.org/wiki/Minimo_comune_multiplo"