Dimostrazione della irrazionalità di e: differenze tra le versioni

 

Ragionando per assurdo consideriamo il [[numero di Nepero]] ''e'' un [[numero razionale]] e dunque eprimibile nella forma <math>\frac{a}{b}</math> con a,b∈N, e sia <math>x = b!(e - \sum_{n=0}^{b}1/n!)</math>. <br>Possiamo ora notare che per come è costruito, x è un [[numero intero]], difatti avendo supposto ''e'' come il rapporto tra a e b possiamo scrivere <math>x = b!(\frac{a}{b} - \sum_{n=0}^{b}1/n!) = a(b-1)! - \sum_{n=0}^{b}b!/n! </math>.

Utilizzando la [[definizione]] di [[numero di nepero|''e'']] possiamo scrivere <math>x = (\sum_{n=b+1}^{\infty}b!/n!)</math> e questo implica che x>0, inoltre la relazione appena trovata ci permette di scrivere <math>x = \frac{1}{b+1} + \frac{1}{(b+1)(b+2)} + \frac{1}{(b+1)(b+2)(b+3)} + .....

< \frac{1}{b+1} + \frac{1}{(b+1)^2} + \frac{1}{(b+1)^3} + ..... = \frac{1}{b}</math> grazie alla [[formula]] per la [[somma]] di una [[serie]] geometrica. E dunque ho ottenuto anche x<1. Abbiamo dunque dimostrato che 0 < x <1; non essendoci [[numero intero|interi]] tra 0 ed 1 abbiamo trovato l'assurdo, e dimostrato [[numero irrazionale|l'irrazionalità]] di ''e''