Varietà conformemente piatta: differenze tra le versioni
Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
aggiunta figura |
+ proiezione stereografica e riferimenti Etichetta: Editor wikitesto 2017 |
||
Riga 2:
In [[geometria differenziale]], una [[varietà pseudo-riemanniana]] è '''conformalmente piatta''' se ogni suo punto ha un intorno che può essere mappato a uno [[Varietà piatta|spazio piatto]] mediante una [[Mappa conforme|trasformazione conforme]].
In pratica la [[Tensore metrico|metrica]] della varietà è conforme alla metrica piatta, ossia le [[Geodetica|geodetiche]] mantengono le angolazioni passando dall'una all'altra, oltre che mantenere invariate le geodetiche nulle.<ref name=":0">{{Cita libro|autore=Ray D'Inverno|titolo=
Più formalmente, sia <math>(M,g)</math> una varietà pseudo-riemanniana. Allora <math>(M,g)</math> è conformalmente piatta se per ogni punto <math>x</math> in <math>M</math> esiste un intorno <math>U</math> di <math>x</math> e una [[funzione liscia]] <math>f</math> definita su <math>U</math> tali che <math>(U,e^{2f}g)</math> è piatta (cioè la [[Tensore di Riemann|curvatura]] di <math>e^{2f}g</math> scompare su <math>U</math>). La funzione <math>f</math> non deve essere necessariamente definita su tutto <math>M</math>''.''
Riga 11:
* Ogni varietà con [[curvatura sezionale]] costante è conformalmente piatta.
* Ogni varietà pseudo-Riemanniana bidimensionale è conformalmente piatta.<ref name=":0" />
:*
::<math>ds^2 = dr^2 + r^2 d\theta \,</math> ha tensore metrico <math>g_{ik} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & r^2 \end{bmatrix}</math> e quindi non è piatta. Ma mediante le trasformazioni <math>r = \sqrt{x^2+y^2}</math> e <math>\theta = \arctan(y/x)</math>
::diventa
::<math>ds^2 = dx^2 + dy^2</math> con tensore metrico <math>g_{ik} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}</math>, che è la metrica piatta.
:* La [[proiezione stereografica]] mappa la superficie della sfera su un piano.
* Una varietà pseudo-Riemanniana tridimensionale è conformalmente piatta se e solo se il [[tensore di Cotton]] svanisce.
* Una varietà pseudo-Riemanniana ''n-dimensionale per n'' ≥ 4 è conformalmente piatta se e solo se il [[tensore di Weyl]] svanisce.
Riga 24:
: <math>ds^2 = \left(1-\frac{2GM}{r} \right) dv \, du</math> ha tensore metrico <math>g_{ik} = \begin{bmatrix} 0 & 1-\frac{2GM}{r} \\ 1-\frac{2GM}{r} & 0 \end{bmatrix}</math> e quindi non è piatta. Ma mediante le trasformazioni <math>t = 1/2(v + u)</math> e <math>x = 1/2(v - u)</math> diventa
:<math>ds^2 = \left(1-\frac{2m}{r} \right) (dt^2 - dx^2)</math> con tensore metrico <math>g_{ik} = \begin{bmatrix} 1-\frac{2GM}{r} & 0 \\ 0 & 1-\frac{2GM}{r} \end{bmatrix}</math>,
:che è la metrica piatta a meno del primo fattore dopo l'uguale, eliminabile con ulteriore trasformazione che lo renda uguale a 1.<ref>{{Cita libro|autore=Ray D'Inverno|titolo=Introducing Einstein's Relativity|pp=230–231|capitolo=17.2 The Kruskal solution}}</ref>
== Note ==
| |||