Lemma di Schwarz: differenze tra le versioni
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In [[analisi matematica]], il '''Lemma di Schwarz''' descrive una proprietà delle [[funzione olomorfa|funzioni olomorfe]]. Il lemma, che prende il nome da [[Hermann Schwarz|Hermann Amandus Schwarz]], è un risultato minore, utilizzato per la dimostrazione di altri teoremi più importanti, come il [[teorema della mappa di Riemann]]. È uno dei risultati più semplici che caratterizzano la "rigidità" delle funzoni olomorfe.
==Enunciato==
Siano <math>D = \{z: |z|<1 \}</math> il [[cerchio|disco]] aperto unitario nel [[piano complesso]] <math>\mathbb{C}</math> e <math>f: D \to \overline{D}</math> una funzione olomorfa nulla nell'origine (<math>f(0) = 0</math>). Allora valgono le seguenti relazioni:
* <math>|f(z)| \le |z| \,\forall z \in D</math>;
* <math>|f'(0)| \le 1</math>.
Inoltre, se vale l'uguaglianza
: <math>|f(z)| = |z| \, \forall z \ne 0</math>,
oppure
: <math>|f'(0)| = 1</math>,
allora <math>f\ </math> è una [[rotazione]]:
:<math>f(z) = az \, (|a| = 1)</math>.
==Estensioni del teorema==
Il ''teorema di Schwarz-Pick'' asserisce che, data una funzione olomorfa <math>f\colon D \to D</math>, valgono le seguenti relazioni (con <math>z_1 ,\, z_2 ,\, z \in D</math>):
* <math>\left| \frac{ f(z_1) - f(z_2) }{ 1 - \overline{f(z_1)} f(z_2) } \right|
\le \frac{ \left| z_1 - z_2 \right| }{ \left| 1 - \overline{z_1} z_2 \right| }</math>;
* <math>\frac{ \left| f'(z) \right| }{ 1 - \left| f(z) \right| ^2 } \le
\frac{ 1 }{ 1 - \left| z \right| ^2 }</math>.
Usando la [[disco di Poincaré|metrica di Poincaré]], definita dalla funzione:
:<math> d(z_1,z_2)=\tanh^{-1}\left(\frac{\left|z_1-z_2\right|}{\left|1-\overline{z_1}z_2\right|}\right) </math>,
la funzione <math>f\ </math> risulta essere una [[funzione contrattiva]], in quanto accorcia le [[distanza (matematica)|distanze]] tra i punti del piano (teorema di Schwarz–Ahlfors–Pick).
Se per una delle precedenti espressioni vale l'uguaglianza, allora <math>f\ </math> è un automorfismo analitico, espresso tramite una [[trasformazione di Möbius]].
Il teorema di Schwarz può inoltre essere considerato come un caso particolare del [[teorema di de Branges]].
==Bibliografia==
* {{en}} Jurgen Jost, ''Compact Riemann Surfaces''. New York, Springer-Verlag, 2002. ISBN 3-540-43299-X
* {{en}} S. Dineen, ''The Schwarz Lemma''. Oxford University Press, 1989. ISBN 0-19-853571-6
==Voci correlate==
* [[Funzione contrattiva]]
{{Analisi matematica}}
{{Portale|matematica}}
[[Categoria:Analisi complessa]]
[[Categoria:Teoremi]]
[[Categoria: Lemmi]]
[[de:Schwarzsches Lemma]]
[[en:Schwarz lemma]]
[[fr:Lemme de Schwarz]]
[[ru:Лемма Шварца]]
[[zh:施瓦茨引理]]
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