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== Relazione con le funzioni trigonometriche ==
Per ''<math>x''</math> reale la funzione <math>\cosh ''{x''}</math> è una [[funzione pari]], cioè simmetrica rispetto all'asse ''<math>y''</math>; la funzione <math>\sinh ''{x''}</math> è invece una [[funzione dispari]], cioè simmetrica rispetto all'origine.
Conseguentemente sono funzioni dispari anche <math>\tanh ''{x''}</math>, <math>\coth ''{x''}</math> e cosech ''<math>\operatorname{csch}{x''}</math>, mentre sec ''<math>\operatorname{sech}{x''}</math> è pari.
Si trovano poi i seguenti valori particolari:
:<math>\sinh\;0\;=\;0 \qquad \cosh\;0\;=\;1 \qquad \tanh\;0\;=\;0 \qquad \operatorname{sech}\;0\;=\;1</math> ▼
▲:<math>\sinh \;{0 \;} = \; 0 \qquad \cosh \;{0 \;} = \; 1 \qquad \tanh \;{0 \;} = \; 0 \qquad \operatorname{sech} \;{0 \;} = \; 1</math>
AlCosì come al variare della variabile reale ''<math>t''</math> i punti <math>\left(\cos ''{t''}, \sin ''{t''}\right)</math> definiscono la [[circonferenza]] ''<math>x''²^2 + ''y''²^2 = 1;</math>, analogamente i punti <math>\left(\cosh ''{t''}, \sinh ''{t''}\right)</math> definiscono l'[[iperbole (geometria)|iperbole]] equilatera ''<math>x''²^2 - ''y''²^2 = 1</math>.
Questa è una conseguenza dell'identità :▼
:<math> \left(\cosh {t }\right)^2 - \left(\sinh {t }\right)^2 = 1 . \,</math> ▼
▲Questa è una conseguenza dell'identità
▲:<math>(\cosh t)^2 - (\sinh t)^2 = 1. \,</math>
derivabile dalle definizioni mediante funzioni esponenziali con manipolazioni algebriche elementari.
ComeAl funzionicontrario didelle variabilecorrispondenti funzioni realetrigonometriche, le funzioni iperboliche non sono [[funzione periodica|periodiche]].
L'argomento ''<math>t''</math> delle funzioni [[Seno (matematica)|seno]] e [[coseno]] che definiscono la circonferenza può essere interpretato naturalmente come un [[angolo]]; la ''<math>t''</math> argomento delle funzioni iperboliche rappresenta invece due volte l'area compresadel settore compreso tra il segmento che collega l'origine con il punto <math>\left(\cosh ''{t''}, \sinh ''{t''}\right)</math> su un ramo dell'[[iperbole equilatera]], l'arco di tale iperbole che si conclude nel punto <math>\left(t,0\right)</math> sull'asse ''<math>x''</math> e il segmento sull'asse ''<math>x''</math> da questo punto all'origine.
Le funzioni iperboliche soddisfano molte identità, simili a corrispondenti [[identità trigonometrica|identità trigonometriche]].
[[identità trigonometrica|identità trigonometriche]].
In effetti, la '''formula di Osborne''' specifica che si può convertire ogni identità trigonometrica in una identità iperbolica sviluppandola completamente in termini di potenze intere di seni e coseni, trasformando ogni <math>\sin</math> in <math>\sinh</math> e ogni <math>\cos</math> in <math>\cosh</math> e infine cambiando il segno di ogni termine che contiene un prodotto di due <math>\sinh</math>. Procedendo in questo modo, ad esempio, si trovano i teoremi di addizione :
:<math>\sinh(x+y) = \sinh(x) \cosh(y) + \cosh(x) \sinh(y) \,</math> ▼:<math>\coshsinh{(x+y)} = \coshsinh{(x)} \cosh{(y)} + \sinhcosh{(x)} \sinh{(y) \,}</math>
▲:<math>\ sinhcosh{(x+y) } = \ sinhcosh{(x) } \cosh {(y) } + \ coshsinh{(x) } \sinh {(y) \,}</math>
e le formule dell'''angolo dimezzato''
:<math>\cosh^2{\left(\frac{x}{2}\right)} = \sqrt{\frac{1+\cosh{(x)}}{2}}</math>
:<math>\sinh^2{\left(\frac{x}{2}\right)} = \sqrt{\frac{\cosh{(x)}-1}{2}}</math>
La [[derivata]] di <math>\sinh ''{x ''}</math> è data da <math>\cosh ''{x ''}</math> e la derivata di <math>\cosh ''{x ''}</math> è <math>\sinh ''{x ''}</math>; questo collegamento si legge facilmente sui grafici delle funzioni. ▼
Il grafico della funzione <math>\cosh ''{x ''}</math> è la curva [[catenaria]], profilo assunto da un cavo con densità uniforme con le due estremità fissate e sottoposto alla gravità. ▼▲La [[derivata]] di sinh ''x'' è data da cosh ''x'' e la derivata di cosh ''x'' è sinh ''x''; questo collegamento si legge facilmente sui grafici delle funzioni.
▲Il grafico della funzione cosh ''x'' è la curva [[catenaria]], profilo assunto da un cavo con densità uniforme con le due estremità fissate e sottoposto alla gravità.
== Funzioni iperboliche inverse ==
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