Criterio di Weierstrass: differenze tra le versioni
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==Dimostrazione==
Sia <math>S_n(
<math>|S_m(
La serie a termini non-negativi <math>\sum_{k=1}^{+\infty}M_k</math> converge, quindi <math>\forall \epsilon>0 \exist\ n_0\ tale\ che\ \forall n>n_0 \sum_{k=n}^{k=+\infty}M_k<\epsilon</math>. Scegliendo n,m sufficientemente grandi si ha quindi
<math>|S_m(
Per ogni z la successione S_n(z) è di [[successione di Cauchy|Cauchy]] nello [[spazio metrico completo]] <math>\C</math>, pertanto converge a <math>l_z</math>. Definiamo la funzione <math>S(z)=l_z</math>. Facendo tendere m a <math>+\infty</math> nella precedente relazione si ha
<math>|S(z)-S_n(z)|\leq\sum_{k=n+1}^{k=+\infty}M_k<\epsilon\ \ \ \ \forall z\in A,\forall n>n_0</math>
ovvero <math>S_n(z)=\sum_{k=1}^{n} f_k(z)</math> converge uniformemente a S(z)
[[Categoria:Analisi funzionale]]
[[Categoria:Serie matematiche]]
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