Quasi-anello: differenze tra le versioni
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In [[matematica]] un <b>quasi-anello</b> (''near-ring'' in inglese) è una [[struttura_algebrica|struttura algebrica]] più "debole" di un [[anello_(algebra)|anello]], cioè a dire, con assiomi meno restrittivi: più precisamente, <span style='text-decoration:underline;'>non</span> si richiede né che la somma sia commutativa né che la legge distributiva del prodotto rispetto alla somma valga da entrambi i lati.<br/>
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<div style="float:center; width:85%; padding:15px; background: #f5f8ff; border: 1px solid blue; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">
* (''R'', +) è un [[Gruppo_(matematica)|gruppo]] con elemento neutro 0
* (''R'', ·) è un [[semigruppo]]
* La moltiplicazione a sinistra è [[distributività|distributiva]] rispetto alla somma: ''x''·(''y'' + ''z'') = (''x''·''y'') + (''x''·''z'').
</div>
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Gli [[Anello (algebra)| anelli]] sono dei particolari quasi-anelli sia sinistri che destri.
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== Giustificazione ==
Pur avendo una definizione apparentemente gratuita, i quasi-anelli hanno un modello notevole ottenuto considerando tutte le funzioni di un gruppo su se stesso.<br/>
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<math>\ \forall f,g\in M(G) \text{ e } x\in G \text{ sia } (f+g)(x)\equiv f(x)+g(x)</math><br/>
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<math>\ \forall f,g\in M(G) \text{ e } x\in G \text{ sia } (f\cdot g)(x)\equiv (f\circ g)(x)</math><br/>
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Con tali somma e prodotto abbiamo dotato l'insieme <math>\ M(G)</math> di una struttura di
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Un teorema fondamentale di rappresentazione mostra che tutti i quasi-anelli sono isomorfi a un sottoquasi-anello di <math>\ M(G)</math> per un opportuno gruppo <math>\ G</math>.
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In genere, però, non è detto che sia <math>\ 0x=0</math>; i quasi anelli per i quali ciò avviene, comunque si scelga <math>\ x\in R</math>, sono detti '''zerosimmetrici'''.<br/>
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== Quasi-corpi ==
Un '''quasi-corpo''' è un quasi-anello ''K'' i cui elementi distinti dallo zero formano un [[Gruppo_(matematica)|gruppo]] rispetto al prodotto.<br/>
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== Ideali in un quasi-anello ==
Analogamente a quanto si fa per gli anelli si possono definire gli ideali in un quasi-anello:<br/>
<div style="float:center; width:85%; padding:15px; background: #f5f8ff; border: 1px solid blue; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">
Si dice '''ideale''' (bilatero) di un quasi-anello sinistro ''R'' un suo sottoinsieme ''I'' tale che<br/>
1) ''(I, +)'' è un [[Sottogruppo_normale|sottogruppo normale]] di ''(R,+)'';<br/>
2) ''r·i'' appartiene a ''I'' per ogni ''i'' di ''I'' e per ogni ''r'' di ''R'';<br/>
3) ''(x+i)y-xy'' appartiene a ''I'' per ogni ''i'' di ''I'' e per ogni ''x,y'' di ''R''.<br/>
</div>
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Se solo le condizioni (1) e (2) sono soddisfatte diremo che ''I'' è un '''ideale sinistro'''; se invece sono soddisfatte le condizioni (1) e (3) diremo che ''I'' è un '''ideale destro'''.<br/>
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== Collegamenti esterni ==
* [http://www.algebra.uni-linz.ac.at/Nearrings/ Near Ring Main Page] ([[Johannes_Kepler_Universitat_Linz|Johannes Kepler Universität Linz]])<br/>
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