Numero iperreale: differenze tra le versioni
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dove ''a'' è un numero reale ed ''ε'' un infinitesimo. Di conseguenza, attorno ad un numero reale, esiste un ''intorno'' di numeri iperreali a distanza infinitesima da esso, i quali costituiscono l'insieme degli ''a'' + ''ε'': tale insieme viene detto '''monade''' e viene indicato con ''μ''(''a'').
Si dimostra che ''ε'' è minore di ogni numero reale positivo. Inoltre, la [[retta dei reali]] è immersa nella retta degli iperreali. Per quest'ultima non vale l'[[assioma di Archimede]]. Supponiamo infatti di dividerla in due semirette: una parte '''r''' che contiene tutti gli iperreali negativi, lo zero e tutti gli iperreali infinitesimi. L'altra parte '''r' '''contiene tutti gli iperreali non infinitesimi positivi. Per assurdo, supponiamo che σ sia l'elemento di separazione: esso sarà maggiore di zero e maggiore di tutti gli elementi di '''r'''. Se σ appartenesse ad '''r''', sarebbe infinitesimo. Ma, per la definizione di infinitesimo, anche 2σ e Nσ, con N grande a piacere, lo sarebbero, ed apparterrebbero ad '''r'''. Tuttavia Nσ>σ e dunque non può essere σ l'elemento di separazione. Se supponiamo invece che σ appartenga ad '''r' ''', allora non è infinitesimo, e dunque nemmeno σ/2 o σ/N, con N grande a piacere. Ma simmetricamente σ/N< σ, e ciò non è possibile. Quindi non esiste un elemento di separazione tra '''r' ''' ed '''r'''.
== Costruzione dell'insieme degli iperreali ==
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