Assioma di regolarità: differenze tra le versioni
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Assieme all'[[assioma della scelta]], questo risultato può essere invertito: se non esistono successioni infinite di quel tipo, allora l'assioma di regolarità è vero. Quindi le due affermazioni sono equivalenti.
L'assioma di regolarità è forse l'ingrediente meno utile della [[teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel]], dal momento che tutti i risultati nelle branche della matematica basate sulla teoria degli insiemi valgono anche in assenza di regolarità. Oltre ad omettere l'assioma di regolarità, le teorie degli insiemi non standard hanno addirittura postulato l'
== Implicazioni elementari ==
''L
Sia ''A'' un insieme tale che ''A'' sia un elemento di sé stesso e definiamo l'insieme ''B'' = {''A''}, che esiste per l'[[assioma della coppia]]. Applicando l'assioma di regolarità a ''B'', vediamo che l'unico elemento di ''B'', vale a dire ''A'', deve essere disgiunto da ''B''. Ma l'intersezione di ''A'' e ''B'' è proprio ''A''. Quindi ''B'' non soddisfa l'assioma di regolarità e abbiamo una contraddizione, dimostrando che ''A'' non può esistere.
''L
Sia ''f'' una [[funzione (matematica)|funzione]] dei numeri naturali tale che ''f''(''n''+1) sia un elemento di ''f''(''n'') per ogni ''n''. Definiamo ''S'' = {''f''(''n''): ''n'' numero naturale} come l'immagine di ''f'', che può essere vista come insieme dalla definizione formale di funzione. Applicando l'assioma di regolarità ad ''S'', sia ''f''(''k'') un elemento di ''S'' disgiunto da ''S''. Ma per la definizione di ''f'' e ''S'', ''f''(''k'') e ''S'' hanno un elemento in comune (vale a dire ''f''(''k''+1)). Abbiamo una contraddizione, quindi non esiste tale ''f''.
''Assumendo l
Sia l'insieme vuoto ''S'' un controesempio dell'assioma della regolarità; cioè, ogni elemento non vuoto ''s'' di ''S'' ha una intersezione non vuota con ''S''. Sia ''g'' una [[assioma della scelta|funzione di scelta]] per ''S'', cioè una applicazione tale che ''g''(''s'') è un elemento di ''s'' per ogni insieme non vuoto ''s'' di ''S''. Ora definamo ricorsivamente la funzione ''f'' sugli interi non negativi come segue:
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* {{en}} [http://www.trinity.edu/cbrown/topics_in_logic/sets/sets.html Set Theory Handout] contiene una descrizione informativa dell'assioma di regolarità, nella sezione della teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel.
{{Portale|matematica}}
[[Categoria:Teoria degli insiemi]]
[[Categoria:Assiomi]]
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