Frattura (meccanica): differenze tra le versioni
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Si consideri un solo legame atomico con distanza di equilibrio <math>b_0</math> al quale viene applicata una forza <math>P</math> di trazione che tende ad aumentare la distanza interatomica <math>x</math>.
L'andamento della forza applicata in funzione dello spostamento interatomico può essere in prima approssimazione rappresentata da metà periodo di sinusoide (per semplicità consideriamo l'origine in <math>b_0</math>)
:<math>P=P_c sin({{\pi x}\over{\lambda}})</math>
, dove <math>P_c</math> è la forza di [[coesione]] (che corrisponde alla forza massima), e <math>\lambda</math> è una opportuna costante.▼
▲
La rigidezza del legame, calcolata come la derivata in <math>x=b_0=0</math> della forza applicata è
:<math>k=\frac{dP}{dx}(0)=\frac{P_c \pi}{\lambda}</math>
Moltiplicando entrambi i termini della precedente equazione per il numero di legami per unità di area e per la distanza interatomica <math>b_0</math> si
▲Moltiplicando entrambi i termini della precedente equazione per il numero di legami per unità di area e per la distanza interatomica <math>b_0</math> si ricava
che risolta per <math>
▲<math>\sigma_c=\frac {E \lambda}{\pi b_0}</math>
, dove <math>\sigma_c</math> è lo sforzo di coesione e <math>E</math> è il modulo elastico a trazione del materiale.▼
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Si può calcolare inoltre l'energia di superficie come metà dell'energia di frattura (poiché due sono le superfici che si formano),
:<math>\gamma_s = \frac{1}{2} \int_0^\lambda \sigma_c sin(\frac{\pi x}{\lambda}) dx = \frac {\sigma_c \lambda}{\pi}</math>.
Combinando quest'ultima con l'espressione precedente di <math>\sigma_c</math> risulta
:<math>\sigma_c=\sqrt{\frac{E \gamma_s}{b_0}}</math>.
Perché avvenga la frattura lo sforzo applicato deve essere maggiore o uguale allo sforzo coesivo e, se si approssima ragionevolmente la costante <math>\lambda</math> a <math>b_0</math>, si nota che <math>\sigma_c= \sigma_{frattura} \approx \frac{E}{\pi}</math>. Ciò però non concorda con quanto trovato sperimentalmente, in quanto gli sforzi di frattura misurati sperimentalmente sono in valore due o tre ordini di grandezza minori del modulo elastico.
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